Transformată Wavelet

Transformarea wavelet este o reprezentare timp-frecvență a unui semnal. De exemplu, o folosim pentru reducerea zgomotului, extragerea caracteristicilor sau comprimarea semnalului.

Transformata Wavelet a semnalului continuu este definită ca

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={{\frac {1}{\sqrt {a}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\ }, } $\left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,$ ,

unde

ψ {\displaystyle \psi } $\psi$ este așa-numita undelet mamă,
a {\displaystyle a} denotă dilatarea wavelet,
b {\displaystyle b} $b$ denotă deplasarea în timp a wavelet-ului și
Simbolul ∗ {\displaystyle *} $*$ reprezintă conjugatul complex.

În cazul în care a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}} $a={a_{0}}^{m}$ și b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} $b={a_{0}}^{m}kT$ , unde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} $a_{0}>1$ , T > 0 {\displaystyle T>0} și m $T>0$ {\displaystyle m} și k {\displaystyle k} sunt constante întregi, transformarea wavelet se numește transformare wavelet discretă (a semnalului continuu).

În cazul a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}} $a=2^{m}$ și b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} $b=2^{m}kT$ , unde m > 0 {\displaystyle m>0} $m>0$ transformată discretă wavelet se numește diadică. Aceasta se definește astfel

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\},} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,$ ,

unde

m {\displaystyle m} este scala de frecvență,
k {\displaystyle k} este scara de timp și
T {\displaystyle T} $T$ este o constantă care depinde de valva mamă.

Este posibilă rescrierea transformării discrete diadice a undelelor discrete sub forma

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} $\left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,$ ,

unde h m {\displaystyle h_{m}} $h_{m}$ este caracteristica de impuls a filtrului continuu care este identică cu ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}} ${\psi _{m}}^{*}$ pentru m dat {\displaystyle m} .

În mod analog, transformarea wavelet diadică cu timp discret (a semnalului discret) se definește astfel

Transformarea continuă a semnalului de defalcare a frecvenței. S-a folosit symlet cu 5 momente de dispariție.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este transformarea wavelet?

R: Transformarea wavelet este o reprezentare timp-frecvență a unui semnal utilizată pentru reducerea zgomotului, extragerea caracteristicilor sau comprimarea semnalului.

Î: Cum se definește transformarea wavelet a semnalelor continue?

R: Transformarea wavelet a semnalelor continue se definește ca o integrală asupra tuturor valorilor unei funcții înmulțite cu o wavelet mamă, unde parametrii "a" și "b" reprezintă dilatarea și, respectiv, decalarea în timp.

Î: Ce sunt transformările wavelet discrete diadice?

R: Transformările discrete diadice ale undelor discrete sunt versiuni discrete ale transformărilor discrete obișnuite ale undelor discrete cu scara de frecvență "m", scara de timp "k" și constanta "T". Ele pot fi rescrise ca o integrală asupra tuturor valorilor unei funcții înmulțite cu un filtru caracteristic de impulsuri care este identic cu undeleta mamă pentru m dat.

Î: La ce se referă în acest context "wavelet mamă"?

R: În acest context, "undeletele mamă" se referă la funcțiile care sunt utilizate împreună cu alte funcții pentru a forma baza de calcul a unui anumit tip de transformare (în acest caz, transformarea Wavelet).

Î: Cum se calculează Wavelets discrete diadice?

R: Wavelet-urile discrete diadice se calculează folosind o integrală asupra tuturor valorilor unei funcții înmulțite cu un filtru caracteristic de impulsuri care este identic cu wavelet-ul mamă pentru un anumit m. În plus, acestea necesită ca parametri scara de frecvență m, scara de timp k și constanta T.

Î: Ce reprezintă "a" și "b" atunci când se definesc Wavelets continue?

R: Atunci când se definesc Wavelets continue, "a" reprezintă dilatarea, în timp ce "b" reprezintă deplasarea în timp.