Transformarea wavelet este o reprezentare timp-frecvență a unui semnal. De exemplu, o folosim pentru reducerea zgomotului, extragerea caracteristicilor sau comprimarea semnalului.

Transformata Wavelet a semnalului continuu este definită ca

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={{\frac {1}{\sqrt {a}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\ }, } {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,},

unde

  • ψ {\displaystyle \psi } \psi este așa-numita undelet mamă,
  • a {\displaystyle a} adenotă dilatarea wavelet,
  • b {\displaystyle b} {\displaystyle b}denotă deplasarea în timp a wavelet-ului și
  • Simbolul ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} reprezintă conjugatul complex.

În cazul în care a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} și b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}, unde a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}, T > 0 {\displaystyle T>0} și m{\displaystyle T>0} {\displaystyle m} și km {\displaystyle k} sunt kconstante întregi, transformarea wavelet se numește transformare wavelet discretă (a semnalului continuu).

În cazul a = 2 m {\displaystyle a=2^{m}}{\displaystyle a=2^{m}}și b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}, unde m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}transformată discretă wavelet se numește diadică. Aceasta se definește astfel

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\},} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

unde

  • m {\displaystyle m} meste scala de frecvență,
  • k {\displaystyle k} keste scara de timp și
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} este o constantă care depinde de valva mamă.

Este posibilă rescrierea transformării discrete diadice a undelelor discrete sub forma

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

unde h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} este caracteristica de impuls a filtrului continuu care este identică cu ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} pentru m dat {\displaystyle m}m .

În mod analog, transformarea wavelet diadică cu timp discret (a semnalului discret) se definește astfel