Wavelet
Un Wavelet este o funcție matematică utilizată pentru a scrie o funcție sau un semnal în termeni de alte funcții care sunt mai ușor de studiat. Multe sarcini de procesare a semnalelor pot fi văzute în termenii unei transformări wavelet. În mod informal, semnalul poate fi văzut sub lentilă cu o mărire dată de scara wavelet-ului. În acest fel, putem vedea doar informațiile care sunt determinate de forma undelei utilizate.
Termenul englezesc "wavelet" a fost introdus la începutul anilor 1980 de către fizicienii francezi Jean Morlet și Alex Grossman. Aceștia au folosit cuvântul francez "ondelette" (care înseamnă "undă mică"). Ulterior, acest cuvânt a fost adus în limba engleză prin traducerea cuvântului "onde" în "wave", dând "wavelet".
Wavelet este o funcție (complexă) din spațiul Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \în L^{2}(\mathbb {R} )} 
. Pentru aplicațiile practice, ar trebui să îndeplinească următoarele condiții.
Trebuie să aibă o energie finită.
∫ - ∞ ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } 
Acesta trebuie să îndeplinească o condiție de admisibilitate.
∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}}d\omega <\infty } 
, unde ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}
este o transformată Fourier a lui ψ {\displaystyle \psi \,} 
Condiția de medie zero rezultă din condiția de admisibilitate.
∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} 
Funcția ψ {\displaystyle \psi \,} se numește wavelet mamă. Versiunile sale translatate (deplasate) și dilatate (scalate) normalizate sunt definite după cum urmează.
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \supra {a}}\dreapta)} 
Original mother wavelet are parametrii a = 1 {\displaystyle a=1}
și b = 0 {\displaystyle b=0}
. Translația este descrisă de parametrul b {\displaystyle b}
și dilatarea de parametrul a {\displaystyle a}
.
Morlet wavelet
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este un wavelet?
R: Un wavelet este o funcție matematică utilizată pentru a scrie o funcție sau un semnal în termeni de alte funcții care sunt mai simplu de studiat. Aceasta poate fi privită sub obiectiv cu o mărire dată de scara undelei, permițându-ne să vedem doar informațiile determinate de forma sa.
Î: Cine a introdus termenul "wavelet"?
R: Termenul englezesc "wavelet" a fost introdus la începutul anilor 1980 de către fizicienii francezi Jean Morlet și Alex Grossman, care au folosit cuvântul francez "ondelette" (care înseamnă "undă mică"). Ulterior, acest cuvânt a fost adus în limba engleză prin traducerea cuvântului "onde" în "wave", ceea ce ne-a dat "wavelet".
Î: Ce trebuie să satisfacă un wavelet pentru aplicații practice?
R: Pentru aplicațiile practice, un wavelet trebuie să aibă o energie finită și să îndeplinească o condiție de admisibilitate. Această condiție de admisibilitate prevede că trebuie să aibă o medie zero și să satisfacă, de asemenea, o integrală pe frecvență care este mai mică decât infinitul.
Î: Ce se înțelege prin translație și dilatare atunci când se face referire la undele?
R: Translația se referă la deplasarea sau mutarea undelelor mamă de-a lungul axei temporale, în timp ce dilatarea se referă la scalarea sau întinderea/retragerea undelelor mamă de-a lungul axei temporale. Acești doi parametri (translație și dilatare) sunt descriși prin b și, respectiv, a.
Î: Ce înseamnă că o undelet are media zero?
R: Media zero implică faptul că, atunci când se integrează toate valorile lui t de la infinitul negativ la infinitul pozitiv, atunci suma trebuie să fie egală cu 0, adică ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Această cerință rezultă din însăși condiția de admisibilitate, după cum s-a menționat mai sus.
Î: Cum se definesc undele mamă?
R: Undelele mamă sunt definite ca versiuni normalizate ale versiunilor translatate (deplasate) și dilatate (scalate) ale undelor mamă originale care au parametrii "a" = 1 și "b" = 0 .
