Wavelet

Un Wavelet este o funcție matematică utilizată pentru a scrie o funcție sau un semnal în termeni de alte funcții care sunt mai ușor de studiat. Multe sarcini de procesare a semnalelor pot fi văzute în termenii unei transformări wavelet. În mod informal, semnalul poate fi văzut sub lentilă cu o mărire dată de scara wavelet-ului. În acest fel, putem vedea doar informațiile care sunt determinate de forma undelei utilizate.

Termenul englezesc "wavelet" a fost introdus la începutul anilor 1980 de către fizicienii francezi Jean Morlet și Alex Grossman. Aceștia au folosit cuvântul francez "ondelette" (care înseamnă "undă mică"). Ulterior, acest cuvânt a fost adus în limba engleză prin traducerea cuvântului "onde" în "wave", dând "wavelet".

Wavelet este o funcție (complexă) din spațiul Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \în L^{2}(\mathbb {R} )} {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. Pentru aplicațiile practice, ar trebui să îndeplinească următoarele condiții.

Trebuie să aibă o energie finită.

∫ - ∞ ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Acesta trebuie să îndeplinească o condiție de admisibilitate.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{{|{{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}}d\omega <\infty } {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }, unde ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}}{\displaystyle {\hat {\psi }}} este o transformată Fourier a lui ψ {\displaystyle \psi \,} {\displaystyle \psi \,}

Condiția de medie zero rezultă din condiția de admisibilitate.

∫ - ∞ ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

Funcția ψ {\displaystyle \psi \,}{\displaystyle \psi \,} se numește wavelet mamă. Versiunile sale translatate (deplasate) și dilatate (scalate) normalizate sunt definite după cum urmează.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \supra {a}}\dreapta)} {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

Original mother wavelet are parametrii a = 1 {\displaystyle a=1}{\displaystyle a=1} și b = 0 {\displaystyle b=0}{\displaystyle b=0} . Translația este descrisă de parametrul b {\displaystyle b}{\displaystyle b} și dilatarea de parametrul a {\displaystyle a}a.

Morlet waveletZoom
Morlet wavelet

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este un wavelet?


R: Un wavelet este o funcție matematică utilizată pentru a scrie o funcție sau un semnal în termeni de alte funcții care sunt mai simplu de studiat. Aceasta poate fi privită sub obiectiv cu o mărire dată de scara undelei, permițându-ne să vedem doar informațiile determinate de forma sa.

Î: Cine a introdus termenul "wavelet"?


R: Termenul englezesc "wavelet" a fost introdus la începutul anilor 1980 de către fizicienii francezi Jean Morlet și Alex Grossman, care au folosit cuvântul francez "ondelette" (care înseamnă "undă mică"). Ulterior, acest cuvânt a fost adus în limba engleză prin traducerea cuvântului "onde" în "wave", ceea ce ne-a dat "wavelet".

Î: Ce trebuie să satisfacă un wavelet pentru aplicații practice?


R: Pentru aplicațiile practice, un wavelet trebuie să aibă o energie finită și să îndeplinească o condiție de admisibilitate. Această condiție de admisibilitate prevede că trebuie să aibă o medie zero și să satisfacă, de asemenea, o integrală pe frecvență care este mai mică decât infinitul.

Î: Ce se înțelege prin translație și dilatare atunci când se face referire la undele?


R: Translația se referă la deplasarea sau mutarea undelelor mamă de-a lungul axei temporale, în timp ce dilatarea se referă la scalarea sau întinderea/retragerea undelelor mamă de-a lungul axei temporale. Acești doi parametri (translație și dilatare) sunt descriși prin b și, respectiv, a.

Î: Ce înseamnă că o undelet are media zero?


R: Media zero implică faptul că, atunci când se integrează toate valorile lui t de la infinitul negativ la infinitul pozitiv, atunci suma trebuie să fie egală cu 0, adică ∫-∞∞ψ(t)dt=0 . Această cerință rezultă din însăși condiția de admisibilitate, după cum s-a menționat mai sus.

Î: Cum se definesc undele mamă?


R: Undelele mamă sunt definite ca versiuni normalizate ale versiunilor translatate (deplasate) și dilatate (scalate) ale undelor mamă originale care au parametrii "a" = 1 și "b" = 0 .

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3