Un spațiu Hilbert este un concept matematic care acoperă utilizarea extradimensională a spațiului euclidian, adică un spațiu cu mai mult de trei dimensiuni. Un spațiu Hilbert utilizează matematica cu două și trei dimensiuni pentru a încerca să descrie ceea ce se întâmplă în mai mult de trei dimensiuni. Este denumit astfel după David Hilbert.
Algebra vectorială și calculul sunt metode utilizate în mod normal în planul euclidian bidimensional și în spațiul tridimensional. În spațiile Hilbert, aceste metode pot fi utilizate cu orice număr finit sau infinit de dimensiuni. Un spațiu Hilbert este un spațiu vectorial care are structura unui produs intern care permite măsurarea lungimilor și a unghiurilor. De asemenea, spațiile Hilbert trebuie să fie complete, ceea ce înseamnă că trebuie să existe suficiente limite pentru ca calculul să funcționeze.
Primele spații Hilbert au fost studiate în primul deceniu al secolului al XX-lea de David Hilbert, Erhard Schmidt și Frigyes Riesz. John von Neumann a inventat prima dată numele de "spațiu Hilbert". Metodele spațiului Hilbert au făcut o mare diferență în analiza funcțională.
Spațiile Hilbert apar foarte des în matematică, fizică și inginerie, adesea ca spații de funcții infinit-dimensionale. Acestea sunt deosebit de utile pentru studierea ecuațiilor cu derivate parțiale, a mecanicii cuantice, a analizei Fourier (care include procesareasemnalelor și transferul de căldură). Spațiile Hilbert sunt utilizate în teoria ergodică, care reprezintă baza matematică a termodinamicii. Toate spațiile euclidiene normale sunt, de asemenea, spații Hilbert. Alte exemple de spații Hilbert includ spațiile funcțiilor pătratice integrabile, spațiile de secvențe, spațiile Sobolev formate din funcții generalizate și spațiile Hardy ale funcțiilor holomorfe.
