Spațiu Hilbert
Un spațiu Hilbert este un concept matematic care acoperă utilizarea extradimensională a spațiului euclidian, adică un spațiu cu mai mult de trei dimensiuni. Un spațiu Hilbert utilizează matematica cu două și trei dimensiuni pentru a încerca să descrie ceea ce se întâmplă în mai mult de trei dimensiuni. Este denumit astfel după David Hilbert.
Algebra vectorială și calculul sunt metode utilizate în mod normal în planul euclidian bidimensional și în spațiul tridimensional. În spațiile Hilbert, aceste metode pot fi utilizate cu orice număr finit sau infinit de dimensiuni. Un spațiu Hilbert este un spațiu vectorial care are structura unui produs intern care permite măsurarea lungimilor și a unghiurilor. De asemenea, spațiile Hilbert trebuie să fie complete, ceea ce înseamnă că trebuie să existe suficiente limite pentru ca calculul să funcționeze.
Primele spații Hilbert au fost studiate în primul deceniu al secolului al XX-lea de David Hilbert, Erhard Schmidt și Frigyes Riesz. John von Neumann a inventat prima dată numele de "spațiu Hilbert". Metodele spațiului Hilbert au făcut o mare diferență în analiza funcțională.
Spațiile Hilbert apar foarte des în matematică, fizică și inginerie, adesea ca spații de funcții infinit-dimensionale. Acestea sunt deosebit de utile pentru studierea ecuațiilor cu derivate parțiale, a mecanicii cuantice, a analizei Fourier (care include procesareasemnalelor și transferul de căldură). Spațiile Hilbert sunt utilizate în teoria ergodică, care reprezintă baza matematică a termodinamicii. Toate spațiile euclidiene normale sunt, de asemenea, spații Hilbert. Alte exemple de spații Hilbert includ spațiile funcțiilor pătratice integrabile, spațiile de secvențe, spațiile Sobolev formate din funcții generalizate și spațiile Hardy ale funcțiilor holomorfe.
Spațiile Hilbert pot fi utilizate pentru a studia armonicele corzilor vibrante.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este un spațiu Hilbert?
R: Un spațiu Hilbert este un concept matematic care folosește matematica în două și trei dimensiuni pentru a încerca să descrie ceea ce se întâmplă în dimensiuni mai mari de trei. Este un spațiu vectorial cu o structură de produs intern care permite măsurarea lungimii și a unghiului și care trebuie să fie complet pentru ca calculul să funcționeze.
Î: Cine a denumit conceptul de spații Hilbert?
R: Conceptul de spații Hilbert a fost studiat pentru prima dată la începutul secolului XX de David Hilbert, Erhard Schmidt și Frigyes Riesz. John von Neumann a fost cel care a inventat numele de "spațiu Hilbert".
Î: Care sunt câteva aplicații ale spațiilor Hilbert?
R: Spațiile Hilbert sunt utilizate în multe domenii, cum ar fi matematica, fizica, ingineria, analiza funcțională, ecuațiile cu derivate parțiale, mecanica cuantică, analiza Fourier (care include procesarea semnalelor și transferul de căldură), teoria ergodică (baza matematică a termodinamicii), funcțiile integrabile la pătrat, secvențele, spațiile Sobolev alcătuite din funcții generalizate, spațiile Hardy ale funcțiilor holomorfe.
Î: Sunt toate spațiile euclidiene normale considerate, de asemenea, spații Hilbert?
R: Da - toate spațiile euclidiene normale sunt considerate, de asemenea, spații Hilbert.
Î: În ce fel au influențat spațiile Hilbert analiza funcțională?
R: Utilizarea spațiilor Hilbert a avut o mare influență asupra analizei funcționale prin furnizarea de noi metode de studiere a problemelor legate de acest domeniu.
Î: Ce tip de matematică trebuie să cunoască cineva atunci când lucrează cu un spațiu Hilbert?
R: Algebra vectorială și calculul sunt utilizate în mod normal atunci când se lucrează cu un plan euclidian bidimensional sau cu un spațiu tridimensional; cu toate acestea, aceste metode pot fi utilizate, de asemenea, cu orice număr finit sau infinit de dimensiuni atunci când se lucrează cu un spațiu Hilber.
