Transformata Fourier | funcție matematică ce poate fi folosită pentru a găsi frecvențele de bază din care este alcătuită o undă

Transformata Fourier este o funcție matematică care poate fi utilizată pentru a găsi frecvențele de bază din care este alcătuită o undă. Imaginează-ți că poți cânta un acord la pian. Atunci când se cântă, sunetele notelor din acord se amestecă și formează o undă sonoră. Acest lucru funcționează deoarece fiecare dintre undele diferitelor note interferează între ele, adunându-se sau anulându-se în diferite puncte ale undei. O transformare Fourier ia această undă complexă și este capabilă să găsească frecvențele care au format-o, ceea ce înseamnă că poate găsi notele din care este alcătuit un acord.

Rezultatul unei transformări Fourier este uneori numit spectru sau distribuție de frecvență, deoarece afișează o distribuție a frecvențelor posibile ale datelor de intrare. Această funcție are numeroase utilizări în criptografie, oceanografie, învățare automată, radiologie, fizică cuantică, precum și în proiectarea și vizualizarea sunetului.

Transformata Fourier a unei funcții f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) , uneori scrisă ca F { f } {\displaystyle {\mathcal {F}}\{{f\}}} ${\mathcal {F}}\{f\}$ , este dată de

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α α x d x {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx} $F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}\,dx$

unde:

α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ este o frecvență.
F ( α ) {\displaystyle F(\alpha )} $F(\alpha )$ este funcția transformată Fourier și returnează o valoare care reprezintă cât de prevalentă este frecvența α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ în semnalul original.
e - 2 π i α x {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}} $e^{-2\pi i\alpha x}$ reprezintă înfășurarea funcției de undă de intrare f ( x ) {\displaystyle f(x)} în jurul originii din planul complex la o anumită frecvență α {\displaystyle \alpha } $\alpha$ .

Transformata Fourier inversă este dată de

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α α d α {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha } $f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }\,d\alpha$

O transformată Fourier arată ce frecvențe se află într-un semnal. De exemplu, luați în considerare o undă sonoră care conține trei note muzicale diferite: A, B și C. Realizarea unui grafic al transformării Fourier a acestei unde sonore (cu frecvența pe axa x și intensitatea pe axa y) va arăta un vârf la fiecare frecvență care corespunde uneia dintre notele muzicale.

Multe semnale pot fi create prin adăugarea de cosinusuri și sinusuri împreună cu amplitudini și frecvențe diferite. Transformata Fourier reprezintă amplitudinile și fazele acestor cosinusuri și sinusuri în raport cu frecvențele lor respective.

Transformările Fourier sunt importante, deoarece multe semnale au mai mult sens atunci când frecvențele lor sunt separate. În exemplul audio de mai sus, dacă privim semnalul în raport cu timpul, nu este evident că notele A, B și C se află în semnal. Multe sisteme fac lucruri diferite la frecvențe diferite, astfel încât aceste tipuri de sisteme pot fi descrise prin ceea ce fac la fiecare frecvență. Un exemplu în acest sens este un filtru care blochează frecvențele înalte.

Calcularea unei transformate Fourier necesită înțelegerea integrării și a numerelor imaginare. Calculatoarele sunt utilizate de obicei pentru a calcula transformările Fourier pentru orice, cu excepția celor mai simple semnale. Transformarea Fourier rapidă este o metodă folosită de calculatoare pentru a calcula rapid o transformată Fourier.

· Original function showing a signal oscillating at 3 hertz.

Funcție originală care prezintă un semnal care oscilează la 3 hertzi.

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 3 hertz

Părțile reale și imaginare ale integrândului pentru transformată Fourier la 3 hertzi

· Real and imaginary parts of integrand for Fourier transform at 5 hertz

Părțile reale și imaginare ale integrândului pentru transformată Fourier la 5 hertzi

· Fourier transform with 3 and 5 hertz labeled.

Transformată Fourier cu 3 și 5 hertzi etichetați.

Pagini conexe

Analiza Fourier
Teorema inversiunii Fourier
Serii Fourier
Transformată Laplace

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este transformată Fourier?

R: Transformata Fourier este o funcție matematică care poate fi utilizată pentru a găsi frecvențele de bază din care este alcătuită o undă. Aceasta ia o undă complexă și găsește frecvențele care o compun, permițând identificarea notelor care alcătuiesc un acord.

Î: Care sunt câteva utilizări ale transformării Fourier?

R: Transformata Fourier are numeroase utilizări în criptografie, oceanografie, învățare automată, radiologie, fizică cuantică, precum și în proiectarea și vizualizarea sunetului.

Î: Cum se calculează transformata Fourier?

R: Transformata Fourier a unei funcții f(x) este dată de F(ב) = ∫-∞+∞f(x)e-2נiבxdx unde ב este o frecvență. Aceasta returnează o valoare care reprezintă cât de răspândită este frecvența ב în semnalul original. Transformata Fourier inversă este dată de f(x) = ∫-∞+∞F(ב)e+2נixבdב.

Î: Cum arată o ieșire a unei transformări Fourier?

R: O ieșire a unei transformări Fourier poate fi numită fie un spectru de frecvență, fie o distribuție, deoarece afișează o distribuție a frecvențelor posibile ale datelor de intrare.

Î: Cum calculează calculatoarele transformările Fourier rapide?

R: Calculatoarele utilizează un algoritm numit Transformată Fourier rapidă (FFT) pentru a calcula rapid orice transformată de semnal, cu excepția celor mai simple.

Î: Ce nu ne arată privirea semnalelor în raport cu timpul?

R: Examinarea semnalelor în raport cu timpul nu ne arată în mod evident ce note sunt prezente în ele; multe semnale au mai mult sens atunci când frecvențele lor sunt separate și analizate individual în schimb.