AlegsaOnline.com

Politop regulat convex

Autor: Leandro Alegsa

21-02-2022

În matematică, un politop regulat convex (sau polychoron) este un politrop 4-dimensional (4D) care este atât regulat, cât și convex. Aceștia sunt analogii cvadridimensionali ai solidelor platonice (în trei dimensiuni) și ai poligoanelor regulate (în două dimensiuni).

Acești politopi au fost descriși pentru prima dată de matematicianul elvețian Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea. Schläfli a descoperit că există exact șase astfel de figuri. Cinci dintre acestea pot fi considerate ca fiind analogii cu dimensiuni mai mari ale solidelor platonice. Mai există o figură suplimentară (celula 24) care nu are un echivalent tridimensional.

Fiecare 4-politop regulat convex este delimitat de un set de celule tridimensionale care sunt toate solide platonice de același tip și dimensiune. Acestea sunt asamblate între ele de-a lungul fețelor lor respective în mod regulat.

Proprietăți

În tabelele următoare sunt enumerate câteva proprietăți ale celor șase polihore regulate convexe. Grupurile de simetrie ale acestor polychora sunt toate grupuri Coxeter și sunt date în notația descrisă în articolul respectiv. Numărul care urmează după numele grupului este ordinul grupului.

Nume	Familie	Schläfli simbol	Vertici	Marginile	Fețe	Celule	Cifre de vârf	Politopul dublu	Grup de simetrie
Pentachoron5-celpentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex	simplex (n-simplex)	{3,3,3}	5	10	10 triunghiuri	5 tetraedre	tetraedre	(auto-duală)	A₄	120
Tesseractoctachoron8-celulahipercubo4-cubo	hipercub (n-cubu)	{4,3,3}	16	32	24 pătrate	8 cuburi	tetraedre	16-celule	B₄	384
Hexadecachoron16-celule-ortoplexhiperoctaedru4-ortoplex	politop încrucișat (n-ortoplex)	{3,3,4}	8	24	32 triunghiuri	16 tetraedre	octaedre	tesseract	B₄	384
Icositetracoron24-celtaplexpolyoctaedru		{3,4,3}	24	96	96 triunghiuri	24 octaedre	cuburi	(auto-duală)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-celuledodecaplexhiperdodecaedrupolydodecaedru		{5,3,3}	600	1200	720 pentagoni	120 dodecaedre	tetraedre	600-celula	H₄	14400
Hexacosichoron600-celuletetraplexhipericozeroedrupolitetraedru		{3,3,5}	120	720	1200 triunghiuri	600 tetraedre	icosaedre	120-celule	H₄	14400

Deoarece limitele fiecăreia dintre aceste figuri sunt echivalente topologic cu o sferă 3, a cărei caracteristică Euler este zero, avem analogul 4-dimensional al formulei poliedrice a lui Euler:

N 0- N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

unde N _kreprezintă numărul de k-fețe din politop (un vârf este o față 0, o muchie este o față 1 etc.).

Vizualizări

Tabelul următor prezintă câteva proiecții bidimensionale ale acestor politopi. Diverse alte vizualizări pot fi găsite pe celelalte site-uri web de mai jos. Graficele diagramelor Coxeter-Dynkin sunt, de asemenea, prezentate sub simbolul Schläfli.

5 celule	8-celule	16-celule	24-celule	120-celule	600-celula
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Proiecții ortografice wireframe în interiorul poligoanelor Petrie.

Proiecții ortografice solide
plic tetraedric (centrat pe celule/vertex)	plic cubic (centrat pe celule)	anvelopă octaedrică (centrată pe vertex)	înveliș cuboctaedric (centrat în celule)	plic rombictriacontaedru trunchiat (centrat pe celule)	Pentakis icosidodecaedru (centrat pe vertex)
Diagrame Wireframe Schlegel (proiecție în perspectivă)
(centrat pe celule)	(centrat pe celule)	(centrat pe celule)	(centrat pe celule)	(centrat pe celule)	(centrat pe vertex)
Proiecții stereografice wireframe (hipersferice)

Pagini conexe

Politop regulat
Solid platonic

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este un 4-politop regulat convex?

R: Un 4-politop regulat convex este un politop 4-dimensional care este atât regulat, cât și convex.

Î: Care sunt analogii polipolitipilor convexe regulate în trei și două dimensiuni?

R: Analogii polipoliotopilor 4 regulate convexe în trei dimensiuni sunt solidele platonice, în timp ce în două dimensiuni, aceștia sunt poligoanele regulate.

Î: Cine a descris pentru prima dată polipoligotopii convexe regulate?

R: Matematicianul elvețian Ludwig Schläfli a descris pentru prima dată patru poligoane regulate convexe la mijlocul secolului al XIX-lea.

Î: Câte poligoane convexe regulate 4-politopuri există?

R: Există exact șase 4-politopuri regulate convexe.

Î: Care este caracteristica unică a politropului cu 24 de celule dintre politropii convexe regulate cu 4 celule?

R: Politopul cu 24 de celule nu are un echivalent tridimensional printre polipoligotopii convexe regulate.

Î: Care sunt celulele tridimensionale care delimitează fiecare polipolitrop 4 regulat convex?

R: Fiecare polipolitrop 4 regulat convex este delimitat de un set de celule tridimensionale care sunt toate solide platonice de același tip și dimensiune.

Î: Cum se potrivesc celulele tridimensionale într-un 4-politop regulat convex?

R: Celulele tridimensionale se potrivesc între ele de-a lungul fețelor lor respective în mod regulat într-un 4-politop regulat convex.