Prima persoană care a demonstrat teorema a fost Euclid. Prima demonstrație detaliată și corectă a fost publicată în Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauß.
Unii oameni pot crede că teorema este adevărată peste tot. Cu toate acestea, teorema nu este adevărată în sistemele de numere mai generale, cum ar fi numerele întregi algebrice. Acest lucru a fost menționat pentru prima dată de Ernst Kummer în 1843, în lucrarea sa privind ultima teoremă a lui Fermat. Pentru mai multe informații despre aceasta: citiți teoria numerelor algebrice.
Demonstrația constă în două părți: în primul rând arătăm că fiecare număr poate fi scris ca produs de numere prime; în al doilea rând arătăm că dacă scriem un număr ca produs de numere prime pentru a doua oară, atunci cele două liste de numere prime trebuie să fie identice.
Prima parte a dovezii
Arătăm că, dacă nu orice număr mai mare decât 1 poate fi scris ca produs de numere prime, ajungem la un fel de imposibilitate. Deci, după aceasta, concluzionăm că trebuie să fie adevărat că orice număr poate fi scris ca produs de numere prime.
Deci, vedeți acum ce se întâmplă când cineva spune că știe un număr întreg pozitiv, mai mare decât 1, care nu poate fi scris ca produs de numere prime. În acest caz, îi cerem să menționeze toate numerele mai mari decât 1, care nu pot fi scrise ca produs de numere prime. Unul dintre aceste numere trebuie să fie cel mai mic: să-l numim n. Desigur, acest număr n nu poate fi 1. Mai mult, nu poate fi un număr prim, deoarece un număr prim este un "produs" al unui singur număr prim: el însuși. Prin urmare, trebuie să fie un produs de numere. Astfel-
n = ab
unde atât a cât și b sunt numere întregi pozitive care sunt, desigur, mai mici decât n. Dar: n a fost cel mai mic număr care nu poate fi scris ca produs de numere prime. Deci trebuie să fie posibil să se scrie a și b ca produse de numere prime, deoarece ambele sunt mai mici decât n. Dar atunci produsul
n = ab
poate fi scris și ca produs de numere prime. Aceasta este o imposibilitate, deoarece am spus că n nu poate fi scris ca produs de numere prime.
Am arătat acum imposibilitatea care există dacă prima parte a teoremei nu ar fi adevărată. În acest fel, am demonstrat prima parte a teoremei.
A doua parte a dovezii
Acum trebuie să demonstrăm că există un singur mod de a scrie un număr pozitiv mai mare decât 1 ca produs de numere prime.
Pentru a face acest lucru, folosim următoarea lemă: dacă un număr prim p împarte un produs ab, atunci el împarte a sau împarte b (lema lui Euclid). Mai întâi vom demonstra acum această lemă. Ei bine, să presupunem acum că p nu împarte a. Atunci p și a sunt copremi și avem identitatea lui Bezout care spune că trebuie să existe numere întregi x și y astfel încât
px + ay = 1.
Înmulțind totul cu b se obține
pbx + aby = b,
Amintiți-vă că ab ar putea fi împărțit de p. Deci acum, în partea stângă avem doi termeni care sunt divizibili cu p. Deci, termenul din partea dreaptă este de asemenea divizibil cu p. Am demonstrat acum că dacă p nu îl împarte pe a, trebuie să îl împartă pe b. Acest lucru dovedește lema.
Acum vom demonstra că putem scrie un număr întreg mai mare decât 1 într-un singur mod ca produs de numere prime. Se iau două produse de numere prime A și B care au același rezultat. Deci știm pentru rezultatul produselor că A = B. Luați un număr prim oarecare p din primul produs A. Acesta îl împarte pe A, deci îl împarte și pe B. Folosind de mai multe ori lema pe care tocmai am demonstrat-o, putem vedea că p trebuie să împartă cel puțin un factor b din B. Dar factorii sunt toți numere prime, deci și b este prim. Dar știm că p este de asemenea prim, deci p trebuie să fie egal cu b. Deci acum împărțim A la p și împărțim și B la p. Și obținem un rezultat de genul A* = B*. Din nou, putem lua un număr prim p din primul produs A* și să aflăm că este egal cu un număr din produsul B*. Continuând în acest fel, la sfârșit vedem că factorii primi ai celor două produse trebuie să fie exact aceiași. Acest lucru dovedește că putem scrie un număr întreg pozitiv ca produs de numere prime într-un singur și unic mod.
