Deși o modalitate mai complicată de calcul a metricii Schwarzschild poate fi găsită folosind simbolurile lui Christoffel, aceasta poate fi derivată, de asemenea, folosind ecuațiile pentru viteza de evadare ( v e {\displaystyle v_{e}}
), dilatarea timpului (dt'), contracția lungimii (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v este viteza particulei
G este constanta gravitațională
M este masa găurii negre
r este cât de aproape este particula de obiectul greu
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt
' este adevărata schimbare a particulei în
timp dt este schimbarea particulei în timp
dr' este adevărata distanță parcursă
dr este schimbarea particulei în distanță
v este viteza particulei
c este viteza luminii
Notă: adevăratul interval de timp și adevărata distanță parcursă de particulă sunt diferite de timpul și distanța calculate în calculele fizicii clasice, deoarece aceasta se deplasează într-un câmp gravitațional atât de puternic!
Folosind ecuația pentru spațiu-timp plat în coordonate sferice:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds este traiectoria particulei
θ {\displaystyle \theta } 
este unghiul
d θ θ {\displaystyle \theta } și d ϕ {\displaystyle \phi } 
reprezintă modificarea unghiurilor
Introducerea ecuațiilor pentru viteza de evadare, dilatarea timpului și contracția lungimii (ecuațiile 1, 2 și 3) în ecuația pentru spațiu-timp plat (ecuația 4), pentru a obține metrica Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Din această ecuație putem extrage raza Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}
), raza acestei găuri negre. Deși acest lucru este utilizat cel mai frecvent pentru a descrie o gaură neagră Schwarzschild, raza Schwarzschild poate fi calculată pentru orice obiect greu.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{{\frac {r_{s}}{r}}(dt)^{2}+{\frac {1}{{(1-{\frac {r_{s}}}{r}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} este limita de rază stabilită pentru obiect
