Identitate (matematică)

Relația de identitate

Un exemplu obișnuit al primului sens este identitatea trigonometrică

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

ceea ce este adevărat pentru toate valorile reale ale lui θ {\displaystyle \theta } (deoarece numerele reale R {\displaystyle {\mathbb {R}}} sunt domeniul lui sin și cos), spre deosebire de

cos θ = 1 , {\displaystyle \cos \theta =1,\,\,}

care este adevărată numai pentru valorile lui θ {\displaystyle \theta } într-un subset al domeniului.

Element de identitate

Conceptele de "identitate aditivă" și "identitate multiplicativă" sunt esențiale pentru axiomele lui Peano. Numărul 0 este "identitatea aditivă" pentru numere întregi, numere reale și numere complexe. Pentru numerele reale, pentru orice a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},},}

0 + a = a , {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\displaystyle a+0=a,\,} și

0 + 0 = 0. {\displaystyle 0+0=0.\,}

În mod similar, numărul 1 este "identitatea multiplicativă" pentru numere întregi, numere reale și numere complexe. Pentru numerele reale, pentru orice a ∈ R , {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\displaystyle a\times 1=a,\,} și

1 × 1 = 1. {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Funcția de identitate

Un exemplu obișnuit de funcție de identitate este permutarea identității, care trimite fiecare element al setului { 1 , 2 , ... , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} la el însuși.

Aceste semnificații nu se exclud reciproc; de exemplu, permutația identitate este elementul identitate din ansamblul permutărilor lui { 1 , 2 , ... , n }. {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} sub compunere.