Ceasul de lumină

Ceasul de lumină este un mod simplu de a arăta o caracteristică de bază a relativității speciale. Ceasul este conceput pentru a funcționa prin aruncarea unui flash de lumină de pe o oglindă îndepărtată și prin utilizarea întoarcerii acesteia pentru a declanșa un alt flash de lumină, numărând între timp câte flash-uri au avut loc pe parcurs. Este ușor de demonstrat că oamenii de pe Pământ care privesc o navă spațială care zboară deasupra lor cu un astfel de ceas ar vedea că acesta ticăie relativ încet. Acest efect se numește dilatare atimpului.

Înainte de a studia ceasul de lumină, luăm în considerare un alt tip de relativitate. Imaginați-vă că cineva driblează o minge de baschet în cala unui avion cargo de mari dimensiuni. Jucătorul de baschet se deplasează în aceeași direcție ca și avionul cu reacție. Ceilalți oameni din avion îl văd mișcându-se cu un metru sau doi în timp ce face o driblare. Între momentul în care mingea sare prima dată și momentul în care mingea sare a doua oară, a trecut aproximativ o secundă. Dar când a avut loc prima săritură, mingea de baschet se afla deasupra Gibraltarului, iar când a avut loc a doua săritură, mingea de baschet se afla deasupra apei, mai aproape de Spania. Așadar, mingea de baschet s-a deplasat 280 de metri în raport cu Pământul.

Să luăm acum în considerare o chestiune oarecum similară privind mișcarea relativă. De data aceasta, vom analiza ce văd oamenii care privesc stelele de la Polul Nord atunci când o navă spațială foarte rapidă trece pe deasupra lor. Putem folosi algebra și teorema lui Pitagora pentru a calcula cât de mult încetinește timpul pe nava spațială. Singurul lucru de care mai avem nevoie este ecuația care leagă distanța, d, rata sau viteza de deplasare, r, și timpul, t. Ecuația este:

d = rt

Viteza luminii este constantă, așa că vom aplica această valoare la două probleme. Vom numi viteza luminii c, deoarece aceasta este litera pe care oamenii de știință o folosesc de obicei pentru a o denumi.

Un ceas este realizat prin plasarea unei ieșiri de lumină la baza unui stâlp lung, a unei oglinzi în vârful stâlpului și a unui detector electronic de lumină în partea de jos a stâlpului. Ceasul este pornit prin închiderea scurtă a unui comutator care trimite o clipire de lumină de la baza stâlpului în vârful stâlpului, unde este reflectată înapoi în partea de jos a stâlpului. Atunci când detectorul de lumină de la baza stâlpului vede clipirile de lumină, acesta face două lucruri. Adaugă un număr la contorul care îi este atașat și lansează o altă clipire de lumină către oglindă. Atunci când această clipire de lumină ajunge înapoi la partea de jos, numărătoarea se schimbă la doi și se declanșează o altă clipire de lumină. Deoarece lumina călătorește foarte repede (300.000 de kilometri/secundă), pentru fiecare secundă măsurată de un ceas obișnuit, ceasul de lumină va "ticăi" de un număr foarte mare de ori.

Pentru a ușura calculele, vom spune că stâlpul are o jumătate de kilometru lungime. Așadar, dacă ne aflăm lângă ceasul de lumină construit lângă marele telescop de la Polul Nord, vom vedea că lumina parcurge un kilometru la fiecare "tic-tac" al ceasului de lumină. Deoarece distanța parcursă, d, este egală cu viteza înmulțită cu timpul, iar viteza în cauză este c, avem ecuația:

d = ct

și putem rezolva această ecuație pentru t pentru a afla cât timp în secunde este fiecare "tic".

1 km = 300.000 km/secundă * t secunde

t secunde = 1 km/300,000 (km/secundă) = 1/300,000 secunde = 0.00000333...3 secunde

Cu alte cuvinte, fiecare "ticăit" al ceasului luminos va dura 0,00000333...3 secunde.

Dacă o navă spațială ar zbura pe o linie dreaptă trecând pe deasupra Polului Nord cu o fracțiune mare din viteza luminii și ar avea un ceas similar, oamenii care îi urmăresc trecerea ar vedea că oglinda din vârful polului s-a mutat de deasupra luminii care emite, astfel încât lumina ar călători de-a lungul liniei marcate cu h în diagramă și apoi ar urma cealaltă ipotenuză înapoi până la baza polului - care s-ar fi deplasat până acum pe o anumită distanță, deoarece nava spațială se mișcă atât de repede. Ne putem da seama cât timp ar dura un tic-tac în funcție de oamenii de pe Pământ. Știm că polul navei spațiale are o lungime de a, deoarece este același tip de ceas pe care oamenii îl folosesc la Polul Nord. Vrem să aflăm t' , timpul necesar pentru a face un tic-tac al ceasului de pe nava spațială.

Știm că nava spațială va parcurge 1/2 r t' în timp ce clipitul de lumină se îndreaptă în sus, spre oglindă, și încă 1/2 r t' în timp ce clipitul de lumină se îndreaptă în jos, spre baza stâlpului. Deci, acest calcul ne dă lungimea liniei b din grafic. Cunoaștem a, deci putem calcula h prin teorema lui Pitagora:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Deci, distanța totală parcursă de lumină este de 2 h sau d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

De asemenea, știm că viteza luminii, c, este constantă. Indiferent cine o măsoară, se dovedește a fi aceeași viteză. Astfel, putem folosi acest fapt pentru a obține o altă modalitate de a calcula cât timp îi ia fulgerului de lumină să meargă de la bază până în vârful stâlpului și înapoi:

t' = d/c

Cu alte cuvinte, d = c t' .

Deci, putem scrie

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

Pentru a rezolva ecuația de mai sus, va trebui să:

Pătrat pe ambele părți
Împărțiți ambele părți cu t' ²
Înmulțiți ambele părți cu 4
Împărțiți ambele părți cu c2
Simplificați c2 / c2
Scădeți r2/c2 din ambele părți.
Luați rădăcina pătrată a ambelor părți
Înmulțiți ambele părți cu t'
Împărțiți ambele părți cu √(1-r2/c2)

Rezolvând ecuația de mai sus găsim că:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Timpul dintre două ticuri ale ceasului de la Polul Nord este 2a/c, deci putem scrie:

t' = t/√(1-r2/c2)

Dacă t = 1 secundă, atunci dacă nava spațială se deplasează cu jumătate din viteza luminii, t' = 1,1547 sec.

Experimentați cu diferite viteze de deplasare la: http://www.1728.org/reltivty.htm

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este un clopot de lumină?

R: Un ceas luminos este un dispozitiv conceput pentru a demonstra o proprietate fundamentală a relativității speciale. Funcționează prin reflectarea unei sclipiri de lumină de la o oglindă îndepărtată și prin folosirea întoarcerii acesteia pentru a declanșa o altă sclipire de lumină, numărând în același timp câte sclipiri au avut loc pe parcurs.

Î: Ce este dilatarea timpului?

R: Dilatarea timpului este un fenomen care apare atunci când oamenii de pe Pământ privesc o navă spațială zburând cu ajutorul unui ceas luminos. Ei văd că ticăie relativ încet sub influența relativității.

Î: Cum putem calcula cât de mult încetinește timpul într-o navă spațială?

R: Putem folosi algebra și teorema lui Pitagora pentru a calcula cât de mult încetinește timpul într-o navă spațială. Trebuie să aplicăm ecuația d = rt (distanța este egală cu viteza înmulțită cu timpul) și să folosim viteza constantă a luminii c în două probleme.

Î: Cum funcționează un ceas luminos?

R: Un ceas de lumină este format dintr-o sursă de lumină situată la baza unei tije lungi, cu o oglindă în partea superioară și un detector electronic în partea inferioară. Atunci când este pornit, o singură scânteie de lumină trece de jos în sus, unde este reflectată înapoi în jos, fiind detectată de detectorul de jos, care adaugă un contor la contorul atașat și declanșează din nou o altă scânteie în sus. Acest proces continuă până când este oprit sau resetat.

Î: De ce ecuație avem nevoie pentru acest calcul?

R: Avem nevoie de t' = 2a/(c√(1-r2/c2)), unde t' (timpul dintre ticurile ceasului de la Polul Nord) este egal cu 2a/c împărțit la √(1-r2/c2). Dacă t = 1 secundă și se deplasează cu jumătate din viteza luminii, t' = 1,1547 secunde.

Î. Ce legătură are teorema lui Pitagora cu acest calcul?

R: Teorema lui Pitagora ne ajută să găsim h (ipotenuza), care face parte din ecuația care ne permite să calculăm cât timp durează fiecare tic-tac în secunde (d=ct). Odată ce cunoaștem h, putem rezolva t', care ne spune cât durează fiecare copcă în funcție de oamenii de pe Pământ care privesc de la Polul Nord și de oamenii de pe nava însăși, care trece foarte repede pe deasupra lor.