Teoria relativității restrânse

Bazele relativității restrânse

Să presupunem că vă deplasați spre ceva care se îndreaptă spre dumneavoastră. Dacă îi măsurați viteza, vi se va părea că se mișcă mai repede decât dacă nu v-ați fi mișcat. Acum, să presupunem că vă îndepărtați de ceva care se mișcă spre dumneavoastră. Dacă îi măsurați din nou viteza, vi se va părea că se mișcă mai încet. Aceasta este ideea de "viteză relativă" - viteza obiectului în raport cu dumneavoastră.

Înainte de Albert Einstein, oamenii de știință au încercat să măsoare "viteza relativă" a luminii. Ei făceau acest lucru prin măsurarea vitezei luminii stelelor care ajungeau pe Pământ. Ei se așteptau ca, în cazul în care Pământul se deplasa spre o stea, lumina de la acea stea să pară mai rapidă decât în cazul în care Pământul se îndepărta de acea stea. Cu toate acestea, au observat că, indiferent cine a efectuat experimentele, unde au fost efectuate sau ce lumină stelară a fost folosită, viteza luminii măsurată în vid era întotdeauna aceeași.

Einstein a spus că acest lucru se întâmplă pentru că există ceva neașteptat în legătură cu lungimea și durata, sau cât durează ceva. El credea că, pe măsură ce Pământul se deplasează prin spațiu, toate duratele măsurabile se schimbă foarte puțin. Orice ceas folosit pentru a măsura o durată va fi greșit cu exact cât trebuie, astfel încât viteza luminii să rămână aceeași. Imaginarea unui "ceas de lumină" ne permite să înțelegem mai bine acest fapt remarcabil pentru cazul unei singure unde luminoase.

De asemenea, Einstein a spus că, pe măsură ce Pământul se deplasează în spațiu, toate lungimile măsurabile se modifică (foarte puțin). Orice dispozitiv de măsurare a lungimii va da o lungime deplasată cu exact cât trebuie, astfel încât viteza luminii să rămână aceeași.

Cel mai dificil de înțeles este faptul că evenimentele care par a fi simultane într-un cadru pot să nu fie simultane în alt cadru. Acest lucru are multe efecte care nu sunt ușor de perceput sau de înțeles. Deoarece lungimea unui obiect este distanța de la cap la coadă într-un moment simultan, rezultă că, dacă doi observatori nu sunt de acord cu privire la evenimentele simultane, atunci acest lucru va afecta (uneori dramatic) măsurătorile lor privind lungimea obiectelor. Mai mult, dacă o linie de ceasuri pare sincronizată pentru un observator staționar și pare să nu fie sincronizată pentru același observator după ce a accelerat până la o anumită viteză, atunci rezultă că în timpul accelerației ceasurile au funcționat cu viteze diferite. Unele dintre ele pot funcționa chiar invers. Această linie de raționament conduce la relativitatea generală.

Alți oameni de știință dinaintea lui Einstein scriseseră despre faptul că lumina părea să aibă aceeași viteză indiferent de modul în care era observată. Ceea ce a făcut ca teoria lui Einstein să fie atât de revoluționară este faptul că ea consideră că măsurarea vitezei luminii este constantă prin definiție, cu alte cuvinte este o lege a naturii. Acest lucru are implicațiile remarcabile că măsurătorile legate de viteză, lungimea și durata, se schimbă pentru a se adapta la acest lucru.

Transformările Lorentz

Bazele matematice ale relativității restrânse sunt transformările Lorentz, care descriu matematic punctele de vedere ale spațiului și timpului pentru doi observatori care se deplasează unul față de celălalt, dar care nu suferă accelerație.

Pentru a defini transformările, folosim un sistem de coordonate carteziene pentru a descrie matematic timpul și spațiul "evenimentelor".

Fiecare observator poate descrie un eveniment ca fiind poziția unui obiect în spațiu la un anumit moment, folosind coordonatele (x,y,z,t).

Locația evenimentului este definită în primele trei coordonate (x,y,z) în raport cu un centru arbitrar (0,0,0), astfel încât (3,3,3) este o diagonală care se deplasează la 3 unități de distanță (cum ar fi metri sau mile) în fiecare direcție.

Momentul evenimentului este descris cu a patra coordonată t în raport cu un punct arbitrar (0) în timp, într-o unitate de timp (cum ar fi secundele, orele sau anii).

Să existe un observator K care descrie momentul în care au loc evenimentele cu o coordonată temporală t și care descrie locul în care au loc evenimentele cu coordonatele spațiale x, y și z. Acesta definește matematic primul observator al cărui "punct de vedere" va fi prima noastră referință.

Să precizăm că timpul unui eveniment este dat: de ora la care este observat t_(observat) (să spunem astăzi, la ora 12) minus timpul necesar pentru ca observația să ajungă la observator.

Aceasta poate fi calculată ca fiind distanța de la observator la evenimentul d_(observat) (să spunem că evenimentul se petrece pe o stea aflată la 1 an-lumină distanță, deci lumina are nevoie de 1 an pentru a ajunge la observator) împărțită la c, viteza luminii (câteva milioane de mile pe oră), pe care o definim ca fiind aceeași pentru toți observatorii.

Acest lucru este corect, deoarece distanța împărțită la viteză dă timpul necesar pentru a parcurge distanța respectivă la viteza respectivă (de exemplu, 30 de mile împărțite la 10 mile pe oră: ne dau 3 ore, deoarece dacă mergi cu 10 mile pe oră timp de 3 ore, ajungi la 30 de mile). Așadar, avem:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

Aceasta definește matematic ceea ce înseamnă orice "timp" pentru orice observator.

Acum, având aceste definiții, să existe un alt observator K' care este

• se deplasează de-a lungul axei x a lui K cu viteza v,
• are un sistem de coordonate spațiale format din x' , y' și z' ,

unde axa x' coincide cu axa x și cu axele y' și z' - "fiind întotdeauna paralelă" cu axele y și z.

Acest lucru înseamnă că atunci când K' dă o locație precum (3,1,2), x (care este 3 în acest exemplu) este același loc despre care ar vorbi K, primul observator, dar 1 pe axa y sau 2 pe axa z sunt doar paralele cu o anumită locație din sistemul de coordonate al observatorului K', iar

• unde K și K' coincid la t = t' = 0

Aceasta înseamnă că coordonata (0,0,0,0,0) este același eveniment pentru ambii observatori.

Cu alte cuvinte, ambii observatori au (cel puțin) un timp și o locație asupra cărora sunt amândoi de acord, și anume locația și timpul zero.

Transformările Lorentz sunt atunci

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} și

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Definiți un eveniment ca având coordonatele spațiu-timp (t,x,y,z) în sistemul S și (t′,x′,y′,z′) într-un cadru de referință care se mișcă cu o viteză v în raport cu acel cadru, S′. Atunci, transformarea Lorentz specifică faptul că aceste coordonate sunt legate în felul următor: este factorul Lorentz și c este viteza luminii în vid, iar viteza v a lui S′ este paralelă cu axa x. Pentru simplificare, coordonatele y și z nu sunt afectate; doar coordonatele x și t sunt transformate. Aceste transformări Lorentz formează un grup de corespondențe liniare cu un singur parametru, acest parametru fiind numit rapiditate.

Rezolvând cele patru ecuații de transformare de mai sus pentru coordonatele neprimite se obține transformarea Lorentz inversă:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Aplicarea acestei transformări Lorentz inverse pentru a coincide cu transformarea Lorentz de la sistemul amorsat la sistemul neamorsat, arată că cadrul neamorsat se mișcă cu viteza v′ = -v, măsurată în cadrul amorsat.

Nu există nimic special în legătură cu axa x. Transformarea se poate aplica pe axa y sau z sau, într-adevăr, în orice direcție, ceea ce se poate face prin direcții paralele cu mișcarea (care sunt deformate de factorul γ) și perpendiculare; pentru detalii, consultați articolul Transformarea Lorentz.

O mărime invariantă sub transformările Lorentz este cunoscută sub numele de scalar Lorentz.

Scrierea transformării Lorentz și a inversului său în termeni de diferențe de coordonate, unde un eveniment are coordonatele (x ₁, t ₁) și (x′ ₁, t′ ₁), un alt eveniment are coordonatele (x ₂, t ₂) și (x′ ₂, t′ ₂), iar diferențele sunt definite astfel

Ecuația 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Ecuația 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

obținem

Ecuația 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Ecuația 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Dacă luăm diferențialele în loc să luăm diferențele, obținem

Ecuația 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . }

Ecuația 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Masa, energia și impulsul

În relativitatea specială, impulsul p {\displaystyle p} și energia totală E {\displaystyle E} a unui obiect în funcție de masa sa m {\displaystyle m} sunt

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

și

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

O eroare frecvent întâlnită (și în unele cărți) este rescrierea acestei ecuații folosind o "masă relativistă" (în direcția de mișcare) de m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Motivul pentru care acest lucru este incorect este că lumina, de exemplu, nu are masă, dar are energie. Dacă folosim această formulă, fotonul (particula de lumină) are o masă, ceea ce, conform experimentelor, este incorect.

În relativitatea specială, masa, energia totală și impulsul unui obiect sunt legate prin ecuația

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Pentru un obiect în repaus, p = 0 {\displaystyle p=0}, astfel încât ecuația de mai sus se simplifică la E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}. . Prin urmare, un obiect masiv aflat în repaus are încă energie. Numim această energie de repaus și o notăm cu E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Istoric

Necesitatea relativității speciale a apărut ca urmare a ecuațiilor electromagnetismului lui Maxwell, care au fost publicate în 1865. Ulterior, s-a constatat că acestea cer ca undele electromagnetice (cum ar fi lumina) să se deplaseze cu o viteză constantă (adică viteza luminii).

Pentru ca ecuațiile lui James Clerk Maxwell să fie în concordanță atât cu observațiile astronomice^[1], cât și cu fizica newtoniană, ^[2]Maxwell a propus în 1877 că lumina călătorește printr-un eter care se află peste tot în univers.

În 1887, celebrul experiment Michelson-Morley a încercat să detecteze "vântul de eter" generat de mișcarea Pământului.^[3] Rezultatele negative persistente ale acestui experiment i-au nedumerit pe fizicieni și au pus sub semnul întrebării teoria eterului.

În 1895, Lorentz și Fitzgerald au observat că rezultatul nul al experimentului Michelson-Morley ar putea fi explicat prin faptul că vântul de eter a contractat experimentul în direcția de mișcare a eterului. Acest efect se numește contracția Lorentz și (fără eter) este o consecință a relativității speciale.

În 1899, Lorentz a publicat pentru prima dată ecuațiile lui Lorentz. Deși nu era prima dată când acestea erau publicate, a fost prima dată când au fost folosite ca explicație a rezultatului nul al lui Michelson-Morley, deoarece contracția Lorentz este o consecință a acestora.

În 1900, Poincaré a ținut un discurs celebru în care a luat în considerare posibilitatea ca o "nouă fizică" să fie necesară pentru a explica experimentul Michelson-Morley.

În 1904, Lorentz a arătat că câmpurile electrice și magnetice pot fi modificate unul în celălalt prin intermediul transformărilor Lorentz.

În 1905, Einstein a publicat articolul său de introducere a relativității speciale, "On the Electrodynamics of Moving Bodies", în Annalen der Physik. În acest articol, el a prezentat postulatele relativității, a derivat transformările Lorentz din acestea și (fără să cunoască articolul lui Lorentz din 1904) a arătat, de asemenea, modul în care transformările Lorentz afectează câmpurile electrice și magnetice.

Mai târziu, în 1905, Einstein a publicat un alt articol în care prezenta E = mc ².

În 1908, Max Planck a aprobat teoria lui Einstein și a numit-o "relativitate". În același an, Hermann Minkowski a ținut un discurs celebru despre spațiu și timp, în care a arătat că relativitatea este autoconsistentă și a dezvoltat teoria. Aceste evenimente au forțat comunitatea de fizicieni să ia în serios relativitatea. După aceea, relativitatea a ajuns să fie din ce în ce mai acceptată.

În 1912, Einstein și Lorentz au fost nominalizați pentru premiul Nobel pentru fizică datorită activității lor de pionierat în domeniul relativității. Din nefericire, relativitatea a fost atât de controversată atunci și a rămas controversată atât de mult timp, încât premiul Nobel nu a fost niciodată acordat pentru ea.

Confirmări experimentale

• Experimentul Michelson-Morley, care nu a reușit să detecteze nicio diferență în viteza luminii în funcție de direcția de deplasare a luminii.
• Experimentul lui Fizeau, în care indicele de refracție al luminii în apa în mișcare nu poate fi făcut să fie mai mic de 1. Rezultatele observate sunt explicate prin regula relativistă de adunare a vitezelor.
• Energia și impulsul luminii se supun ecuației E = p c {\displaystyle E=pc} . (În fizica newtoniană, se așteaptă ca această ecuație să fie E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}}pc} .)
• Efectul Doppler transversal, care constă în faptul că lumina emisă de un obiect care se deplasează rapid este deplasată spre roșu din cauza dilatării timpului.
• Prezența muonilor creați în atmosfera superioară la suprafața Pământului. Problema este că este nevoie de mult mai mult timp decât perioada de înjumătățire a muonilor pentru a ajunge la suprafața Pământului, chiar și la o viteză apropiată de cea a luminii. Prezența lor poate fi văzută ca fiind datorată fie dilatării timpului (în viziunea noastră), fie contracției de lungime a distanței până la suprafața Pământului (în viziunea muonilor).
• Acceleratoarele de particule nu pot fi construite fără a ține cont de fizica relativistă.

Pagini conexe

• Relativitatea generală