Bazele matematice ale relativității restrânse sunt transformările Lorentz, care descriu matematic punctele de vedere ale spațiului și timpului pentru doi observatori care se deplasează unul față de celălalt, dar care nu suferă accelerație.
Pentru a defini transformările, folosim un sistem de coordonate carteziene pentru a descrie matematic timpul și spațiul "evenimentelor".
Fiecare observator poate descrie un eveniment ca fiind poziția unui obiect în spațiu la un anumit moment, folosind coordonatele (x,y,z,t).
Locația evenimentului este definită în primele trei coordonate (x,y,z) în raport cu un centru arbitrar (0,0,0), astfel încât (3,3,3) este o diagonală care se deplasează la 3 unități de distanță (cum ar fi metri sau mile) în fiecare direcție.
Momentul evenimentului este descris cu a patra coordonată t în raport cu un punct arbitrar (0) în timp, într-o unitate de timp (cum ar fi secundele, orele sau anii).
Să existe un observator K care descrie momentul în care au loc evenimentele cu o coordonată temporală t și care descrie locul în care au loc evenimentele cu coordonatele spațiale x, y și z. Acesta definește matematic primul observator al cărui "punct de vedere" va fi prima noastră referință.
Să precizăm că timpul unui eveniment este dat: de ora la care este observat t(observat) (să spunem astăzi, la ora 12) minus timpul necesar pentru ca observația să ajungă la observator.
Aceasta poate fi calculată ca fiind distanța de la observator la evenimentul d(observat) (să spunem că evenimentul se petrece pe o stea aflată la 1 an-lumină distanță, deci lumina are nevoie de 1 an pentru a ajunge la observator) împărțită la c, viteza luminii (câteva milioane de mile pe oră), pe care o definim ca fiind aceeași pentru toți observatorii.
Acest lucru este corect, deoarece distanța împărțită la viteză dă timpul necesar pentru a parcurge distanța respectivă la viteza respectivă (de exemplu, 30 de mile împărțite la 10 mile pe oră: ne dau 3 ore, deoarece dacă mergi cu 10 mile pe oră timp de 3 ore, ajungi la 30 de mile). Așadar, avem:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Aceasta definește matematic ceea ce înseamnă orice "timp" pentru orice observator.
Acum, având aceste definiții, să existe un alt observator K' care este
- se deplasează de-a lungul axei x a lui K cu viteza v,
- are un sistem de coordonate spațiale format din x' , y' și z' ,
unde axa x' coincide cu axa x și cu axele y' și z' - "fiind întotdeauna paralelă" cu axele y și z.
Acest lucru înseamnă că atunci când K' dă o locație precum (3,1,2), x (care este 3 în acest exemplu) este același loc despre care ar vorbi K, primul observator, dar 1 pe axa y sau 2 pe axa z sunt doar paralele cu o anumită locație din sistemul de coordonate al observatorului K', iar
- unde K și K' coincid la t = t' = 0
Aceasta înseamnă că coordonata (0,0,0,0,0) este același eveniment pentru ambii observatori.
Cu alte cuvinte, ambii observatori au (cel puțin) un timp și o locație asupra cărora sunt amândoi de acord, și anume locația și timpul zero.
Transformările Lorentz sunt atunci
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
și
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Definiți un eveniment ca având coordonatele spațiu-timp (t,x,y,z) în sistemul S și (t′,x′,y′,z′) într-un cadru de referință care se mișcă cu o viteză v în raport cu acel cadru, S′. Atunci, transformarea Lorentz specifică faptul că aceste coordonate sunt legate în felul următor: este factorul Lorentz și c este viteza luminii în vid, iar viteza v a lui S′ este paralelă cu axa x. Pentru simplificare, coordonatele y și z nu sunt afectate; doar coordonatele x și t sunt transformate. Aceste transformări Lorentz formează un grup de corespondențe liniare cu un singur parametru, acest parametru fiind numit rapiditate.
Rezolvând cele patru ecuații de transformare de mai sus pentru coordonatele neprimite se obține transformarea Lorentz inversă:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Aplicarea acestei transformări Lorentz inverse pentru a coincide cu transformarea Lorentz de la sistemul amorsat la sistemul neamorsat, arată că cadrul neamorsat se mișcă cu viteza v′ = -v, măsurată în cadrul amorsat.
Nu există nimic special în legătură cu axa x. Transformarea se poate aplica pe axa y sau z sau, într-adevăr, în orice direcție, ceea ce se poate face prin direcții paralele cu mișcarea (care sunt deformate de factorul γ) și perpendiculare; pentru detalii, consultați articolul Transformarea Lorentz.
O mărime invariantă sub transformările Lorentz este cunoscută sub numele de scalar Lorentz.
Scrierea transformării Lorentz și a inversului său în termeni de diferențe de coordonate, unde un eveniment are coordonatele (x 1, t 1) și (x′ 1, t′ 1), un alt eveniment are coordonatele (x 2, t 2) și (x′ 2, t′ 2), iar diferențele sunt definite astfel
Ecuația 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Ecuația 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } 
obținem
Ecuația 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . } 
Ecuația 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . } 
Dacă luăm diferențialele în loc să luăm diferențele, obținem
Ecuația 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . } 
Ecuația 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . } 
