În teoria probabilităților și în statistică, teoremele limitei centrale, prescurtate CLT, sunt teoreme despre comportamentele limită ale distribuțiilor de probabilitate agregate. Acestea spun că, dat fiind un număr mare de variabile aleatoare independente, suma lor va urma o distribuție stabilă. Dacă varianța variabilelor aleatoare este finită, atunci va rezulta o distribuție gaussiană. Acesta este unul dintre motivele pentru care această distribuție este cunoscută și sub numele de distribuție normală.
Cea mai cunoscută și mai importantă dintre acestea este cunoscută sub numele de teorema limitei centrale. Aceasta se referă la un număr mare de variabile aleatoare cu aceeași distribuție, fiecare având o varianță finită și o valoare așteptată identică.
Mai precis, dacă X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
sunt n variabile aleatoare identice și distribuite independent cu media μ {\displaystyle \mu }
și abaterea standard σ {\displaystyle \sigma } 
, atunci distribuția mediei lor de eșantionare, ( X 1 + ⋯ + X n ) / n {\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})/n} 
, pe măsură ce n devine mare, este aproximativ normală cu media μ {\displaystyle \mu } și abaterea standard σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
. În plus, distribuția sumei lor, X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}. 
, pe măsură ce n devine mare, este, de asemenea, aproximativ normală, cu media n μ {\displaystyle n\mu }
și abaterea standard n σ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } 
.
Există diferite generalizări ale acestei teoreme. Unele dintre aceste generalizări nu mai necesită o distribuție identică a tuturor variabilelor aleatoare. În aceste generalizări, o altă condiție prealabilă asigură că nicio variabilă aleatorie nu are o influență mai mare asupra rezultatului decât celelalte. Exemple sunt condițiile Lindeberg și Lyapunov.
Numele teoremei se bazează pe o lucrare scrisă de George Pólya în 1920, Despre teorema limită centrală în teoria probabilităților și problema momentului.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este teorema limitei centrale?
R: Teorema limitei centrale (CLT) este o teoremă despre comportamentele limită ale distribuțiilor de probabilitate agregate. Aceasta afirmă că, dat fiind un număr mare de variabile aleatoare independente, suma lor va urma o distribuție stabilă. Dacă varianța variabilelor aleatoare este finită, atunci va rezulta o distribuție gaussiană.
Î: Cine a scris lucrarea pe care s-a bazat această teoremă?
R: George Pَlya a scris lucrarea "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem" (Despre teorema limitei centrale în teoria probabilităților și problema momentului) în 1920, care a servit drept bază pentru această teoremă.
Î: Ce tip de distribuție rezultă atunci când toate variabilele aleatoare au varianță finită?
R: Atunci când toate variabilele aleatoare au varianță finită, o distribuție normală sau gaussiană va rezulta din aplicarea CLT.
Î: Există generalizări ale CLT?
R: Da, există diferite generalizări ale CLT care nu mai necesită o distribuție identică a tuturor variabilelor aleatoare. Aceste generalizări includ condițiile Lindeberg și Lyapunov, care se asigură că nicio variabilă aleatorie nu are o influență mai mare decât altele asupra rezultatului.
Î: Cum funcționează aceste generalizări?
R: Aceste generalizări garantează că nicio variabilă aleatorie nu are o influență mai mare decât altele asupra rezultatului prin introducerea unor condiții prealabile suplimentare, cum ar fi condițiile Lindeberg și Lyapunov.
Î: Ce spune CLT despre media eșantionului și suma unui număr mare de variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție?
R: Conform CLT, dacă n variabile aleatoare identice și distribuite independent cu media ى {\displaystyle \mu } și abaterea standard َ {\displaystyle \sigma } , atunci media lor de eșantionare (X1+...+Xn)/n va fi aproximativ normală cu media ى {\displaystyle \mu } și abaterea standard َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . În plus, suma lor X1+...+Xn va fi, de asemenea, aproximativ normală cu media nى {\displaystyle n\mu } și abaterea standard √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma }. .
