Momentul polar de inerție

Notă: Diferite discipline utilizează termenul de moment de inerție pentru a se referi la momente diferite. În fizică, momentul de inerție este strict al doilea moment al masei în raport cu distanța față de o axă, care caracterizează accelerația unghiulară a unui obiect datorată unui cuplu aplicat. În inginerie (în special în inginerie mecanică și civilă), momentul de inerție se referă în mod obișnuit la cel de-al doilea moment al ariei. Atunci când citiți momentul polar de inerție, aveți grijă să verificați dacă se referă la "al doilea moment polar al ariei" și nu la momentul de inerție. Al doilea moment polar al ariei va avea ca unitate de măsură lungimea la puterea a patra (de exemplu, m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ sau i n 4 {\displaystyle in^{4}}} $in^{4}$ ), în timp ce momentul de inerție este masa înmulțită cu lungimea la pătrat (de exemplu, k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}}} $kg*m^{2}$ sau l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}}}. $lb*in^{2}$ ).

Al doilea moment polar al ariei (denumit și "moment polar de inerție") este o măsură a capacității unui obiect de a rezista la torsiune în funcție de forma sa. Este un aspect al celui de-al doilea moment de arie legat prin teorema axei perpendiculare, în care al doilea moment de arie plană utilizează forma secțiunii transversale a unei grinzi pentru a descrie rezistența acesteia la deformare (încovoiere) atunci când este supusă unei forțe aplicate într-un plan paralel cu axa sa neutră, iar al doilea moment de arie polară utilizează forma secțiunii transversale a unei grinzi pentru a descrie rezistența acesteia la deformare (torsiune) atunci când un moment (cuplu) este aplicat într-un plan perpendicular pe axa neutră a grinzii. În timp ce al doilea moment plan al ariei este cel mai adesea notat cu litera I {\displaystyle I} , al doilea moment polar al ariei este cel mai adesea notat fie cu I z {\displaystyle I_{z}} $I_{z}$ fie cu litera J {\displaystyle J}. $J$ , în manualele de inginerie.

Valorile calculate pentru cel de-al doilea moment polar al ariei sunt cel mai adesea utilizate pentru a descrie rezistența la torsiune a unui arbore cilindric solid sau gol, ca în cazul axei sau al arborelui de transmisie al unui vehicul. Atunci când se aplică la grinzi sau arbori care nu sunt cilindrice, calculele pentru al doilea moment polar al ariei devin eronate din cauza deformării arborelui/ grinzii. În aceste cazuri, trebuie utilizată o constantă de torsiune, în care o constantă de corecție este adăugată la calculul valorii.

Cel de-al doilea moment polar al ariei poartă unitățile de lungime la puterea a patra ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); metri la puterea a patra ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) în sistemul de unități metrice și inci la puterea a patra ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} ) $in^{4}$ în sistemul de unități imperial. Formula matematică pentru calculul direct este dată ca o integrală multiplă pe suprafața unei forme, R {\displaystyle R}. $R$ , la o distanță ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ de o axă arbitrară O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

În forma cea mai simplă, cel de-al doilea moment polar al ariei este o sumă a celor două momente plane ale ariei, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ și I y {\displaystyle I_{y}}. $I_{y}$ . Utilizând teorema lui Pitagora, distanța de la axa O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , poate fi împărțită în componentele sale x {\displaystyle x} $x$ și y {\displaystyle y} $y$ , iar modificarea ariei, d A {\displaystyle dA} $dA$ , împărțită în $y$ componentele sale x {\displaystyle x} $x$ și y {\displaystyle y}, d x {\displaystyle dx} $dx$ și d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Având în vedere cele două formule pentru momentele secunde plane ale ariei:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ , și I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Relația cu al doilea moment polar al ariei poate fi prezentată astfel:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \deci J=I_{x}+I_{y}}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

În esență, pe măsură ce mărimea celui de-al doilea moment polar al ariei crește (adică o formă mare a secțiunii transversale a obiectului), va fi necesar un cuplu mai mare pentru a provoca o deformare de torsiune a obiectului. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că acest lucru nu are nicio legătură cu rigiditatea torsională oferită unui obiect de către materialele sale constitutive; al doilea moment polar al ariei este pur și simplu rigiditatea oferită unui obiect doar de forma sa. Rigiditatea torsională asigurată de caracteristicile materialelor este cunoscută sub numele de modulul de forfecare, G {\displaystyle G} $G$ . Legând aceste două componente ale rigidității, se poate calcula unghiul de torsiune al unei grinzi, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ , folosind:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Unde T {\displaystyle T} $T$ este momentul aplicat (cuplul) și l {\displaystyle l} $l$ este lungimea grinzii. După cum se arată, cuplurile și lungimile mai mari ale grinzii conduc la deformări unghiulare mai mari, unde valorile mai mari pentru al doilea moment polar de suprafață, J {\displaystyle J} $J$ și modulul de forfecare al materialului, G {\displaystyle G}. $G$ , reduce potențialul de deformare unghiulară.

O schemă care arată cum se calculează al doilea moment polar al ariei ("moment polar de inerție") pentru o formă arbitrară de arie, R, în jurul unei axe o, unde ρ este distanța radială față de elementul dA.

Pagini conexe

Moment (fizică)
Al doilea moment al suprafeței
Lista momentelor secunde ale ariei pentru forme standard
Modulul de forfecare

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este momentul de inerție în fizică?

R: În fizică, momentul de inerție este strict al doilea moment al masei în raport cu distanța față de o axă, care caracterizează accelerația unghiulară a unui obiect datorită unui cuplu aplicat.

Î: La ce se referă al doilea moment polar al ariei în inginerie?

R: În inginerie (în special în inginerie mecanică și civilă), momentul de inerție se referă în mod obișnuit la al doilea moment al ariei. Atunci când citiți momentul polar de inerție, aveți grijă să verificați dacă se referă la "al doilea moment polar al ariei" și nu la momentul de inerție. Al doilea moment polar al ariei va avea unități de lungime la puterea a patra (de exemplu, m^4 sau in^4).

Î: Cum se calculează un al doilea moment polar al ariei?

R: Formula matematică pentru calculul direct este dată ca integrală multiplă asupra ariei unei forme, R, la o distanță ρ față de o axă arbitrară O. J_O=∬Rρ2dA. În forma cea mai simplă, a doua polară