Variabilele conjugate sunt perechi speciale de variabile (cum ar fi x, y, z) care nu dau același rezultat atunci când se efectuează o anumită operație matematică cu ele. Aceasta înseamnă că x*y nu este egal cu y*x. Aici, * nu înseamnă înmulțire. Ar putea însemna adunare, scădere, împărțire sau orice operație care are sens, în acest caz.
Un fizician, Werner Heisenberg, și colaboratorii săi au folosit ecuații studiate în fizica clasică pentru a descrie și prezice evenimente din fizica cuantică. El a descoperit că impulsul (masa înmulțită cu viteza, reprezentată prin P) și poziția (reprezentată prin Q) sunt variabile conjugate. Acest lucru înseamnă că P*Q nu este egal cu Q*P, în fizica cuantică.
Iată două ecuații speciale pentru a calcula energia unui electron (micul lucru verde) într-un atom de hidrogen.
Prima ecuație poate fi utilizată pentru a afla produsul dintre impuls și poziție:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
A doua ecuație poate fi utilizată pentru a calcula produsul dintre poziție și impuls:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Ceva mai târziu, un alt fizician, Max Born, a descoperit că, deoarece P*Q nu este egal cu Q*P, rezultatul Q*P minus P*Q nu este zero. (Minusul "minus" nu este același minus de "3 - 2". Este un lucru diferit cu același nume).
Born a aflat că:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Simbolul Q este matricea pentru poziție, P este matricea pentru impuls, i este un număr complex, iar h este constanta lui Planck, un număr care apare foarte des în mecanica cuantică.]
Variabilele conjugate au aplicații în toată fizica, în chimie și în multe alte domenii ale științei.