Corespondență biunivocă

Formal:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} este o funcție bijectivă dacă ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} există un singur a ∈ A {\displaystyle a\in A} astfel încât f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementul b {\displaystyle b} se numește imaginea elementului a {\displaystyle a} .

• Definiția formală înseamnă: Fiecare element al codominiului B este imaginea a exact un element din domeniul A.

Elementul a {\displaystyle a} se numește preimagine a elementului b {\displaystyle b} .

• Definiția formală înseamnă: Fiecare element al codominiului B are exact o preimagine în domeniul A.

Notă: Surjecția înseamnă minimum o imagine prealabilă. Injecția înseamnă maximum o imagine prealabilă. Deci, bijecția înseamnă exact o singură preimagine.

Cardinalitatea este numărul de elemente dintr-un set. Cardinalitatea lui A={X,Y,Z,W} este 4. Scriem #A=4.

• Definiție: Două seturi A și B au aceeași cardinalitate dacă există o bijecție între aceste seturi. Deci #A=#B înseamnă că există o bijecție de la A la B.

• Bijecțiile sunt inversabile prin inversarea săgeților. Noua funcție se numește funcție inversă.

Formal: Fie f : A → B o bijecție. Funcția inversă g : B → A se definește prin dacă f(a)=b, atunci g(b)=a. (A se vedea, de asemenea, funcția inversă.)

• Funcția inversă a funcției inverse este funcția originală.
• O funcție are o funcție inversă dacă și numai dacă este o bijecție.

Notă: Nota: Notația pentru funcția inversă a lui f este confuză. Și anume,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} reprezintă funcția inversă a funcției f, dar x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} reprezintă valoarea reciprocă a numărului x.

Funcții elementare

Fie f(x):ℝ→ℝ o funcție cu valori reale y=f(x) a unui argument cu valori reale x. (Aceasta înseamnă că atât intrarea cât și ieșirea sunt numere.)

• Semnificație grafică: Funcția f este o bijecție dacă fiecare linie orizontală intersectează graficul lui f în exact un punct.
• Semnificație algebrică: Funcția f este o bijecție dacă pentru fiecare număr real y_o putem găsi cel puțin un număr real x_o astfel încât y_o =f(x_o ) și dacă f(x_o )=f(x₁ ) înseamnă x_o =x₁ .

Exemplu: Funcția liniară a unei linii înclinate este o bijecție. Adică, y=ax+b unde a≠0 este o bijecție.

Discuții: Orice linie orizontală intersectează o linie înclinată în exact un punct (a se vedea surjecția și injecția pentru demonstrații). Imaginea 1.

Exemplu: Funcția polinomială de gradul trei: f(x)=x³ este o bijecție. Imaginea 2 și imaginea 5 curbă galbenă subțire. Inversa sa este funcția rădăcină cubică f(x)= ∛x și este, de asemenea, o bijecție f(x):ℝ→ℝ. Imaginea 5: curbă verde groasă.

Exemplu: Funcția pătratică f(x) = x²  nu este o bijecție (din ℝ→ℝ). Imaginea 3. Nu este o surjecție. Nu este o injecție. Cu toate acestea, putem restrânge atât domeniul, cât și codominiul său la ansamblul numerelor non-negative (0,+∞) pentru a obține o bijecție (inversabilă) (a se vedea exemplele de mai jos).

• domeniul
• mașina funcțională
• codominiul

Exemplu: Să presupunem că mașina noastră de funcții este f(x)=x².

• Această mașină și domain=ℝ și codomain=ℝ nu este o surjecție și nici o injecție. Cu toate acestea,
• aceeași mașină și domeniul=[0,+∞) și codominiul=[0,+∞) este atât o surjecție, cât și o injecție și, prin urmare, o bijecție.

Bijecții și inversurile lor

Fie f(x):A→B unde A și B sunt subansambluri ale lui ℝ.

• Să presupunem că f nu este o bijecție. Pentru orice x în care derivata lui f există și nu este zero, există o vecinătate a lui x în care putem restricționa domeniul și codominiul lui f pentru a fi o bisecție.
• Graficele funcțiilor inverse sunt simetrice în raport cu dreapta y=x. (A se vedea, de asemenea, funcția inversă.)

Exemplu: Funcția pătratică definită pe domeniul restrâns și codominiul [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,[0,+\infty )} definită prin f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}}

este o bijecție. Imaginea 6: curba galbenă subțire.

Exemplu: Funcția rădăcină pătrată definită pe domeniul restrâns și codominiul [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} definit prin f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}}}

este bijecția definită ca funcție inversă a funcției pătratice: x² . Imaginea 6: curbă verde groasă.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} definit prin f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,\,a>1}

este o bijecție. Imaginea 4: curba galbenă subțire (a=10).

Exemplu: Funcția logaritmică de bază a definită pe domeniul restrâns (0,+∞) și pe codominiul ℝ.

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } definit prin f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,\,a>1}

este bijecția definită ca funcție inversă a funcției exponențiale: a^x . Imaginea 4: curba verde groasă (a=10).

• Funcție (matematică)
• Funcție surjectivă
• Funcție injectivă
• Funcția inversă