Funcție surjectivă

Proprietăți de bază

Formal:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} este o funcție surjectivă dacă ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\există a\in A} astfel încât f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Elementul b {\displaystyle b} se numește imaginea elementului a {\displaystyle a} .

• Definiția formală înseamnă: Fiecare element al codominiului B este imaginea a cel puțin un element din domeniul A.

Elementul a {\displaystyle a} se numește preimagine a elementului b {\displaystyle b} .

• Definiția formală înseamnă: Fiecare element al codominiului B are cel puțin o preimagine în domeniul A.

O preimagine nu trebuie să fie neapărat unică. În imaginea de sus, atât {X}, cât și {Y} sunt preimagini ale elementului {1}. Este important doar să existe cel puțin o preimagine. (A se vedea, de asemenea: funcție injectivă, funcție bijectivă)

Exemple

Funcții elementare

Fie f(x):ℝ→ℝ o funcție cu valori reale y=f(x) a unui argument cu valori reale x. (Aceasta înseamnă că atât intrarea cât și ieșirea sunt numere.)

• Semnificație grafică: Funcția f este o surjecție dacă fiecare linie orizontală intersectează graficul lui f în cel puțin un punct.
• Semnificație analitică: Funcția f este o surjecție dacă pentru fiecare număr real y_o se poate găsi cel puțin un număr real x _oastfel încât y=f_o(x_o).

Exemplu: Funcția liniară a unei linii înclinate este pe. Adică, y=ax+b unde a≠0 este o surjecție. (Este, de asemenea, o injecție și, prin urmare, o bijecție).

Dovada: Înlocuiește y_o în funcție și rezolvă pentru x. Deoarece a≠0, obținem x= (y-b_o)/_a. Aceasta înseamnă că x=_o(y-b_o)/_a este o preimagine a lui y_o. Acest lucru dovedește că funcția y=ax+b unde a≠0 este o surjecție. (Deoarece există exact o preimagine, această funcție este, de asemenea, o injecție).

Exemplu practic: y= -2x+4. Care este preimaginea lui y=2? Soluție:: Aici a= -2, adică a≠0, iar întrebarea este: Pentru ce x este y=2? Înlocuim y=2 în funcție. Obținem x=1, adică y(1)=2. Așadar, răspunsul este: x=1 este preimaginea lui y=2.

Exemplu: Polinomul cubic (de gradul trei) f(x)=x-3x³ este o surjecție.

Discuții: Ecuația cubică x-3x-y=0³_o are coeficienți reali (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Orice ecuație cubică de acest tip are cel puțin o rădăcină reală. Deoarece domeniul polinomului este ℝ, înseamnă că există cel puțin o preimagine x_o în acest domeniu. Adică, (x₀)³-3x-y=0_0o. Deci funcția este o surjecție. (Totuși, această funcție nu este o injecție. De exemplu, y=2_o are 2 preimagini: x=-1 și x=2. De fapt, fiecare y, -2≤y≤2 are cel puțin 2 preimagini).

Exemplu: Funcția pătratică f(x) = x² nu este o surjecție. Nu există un x astfel încât x ²= -1. Intervalul lui x² este [0,+∞)], adică ansamblul numerelor nenule. (De asemenea, această funcție nu este o injecție).

Notă: O funcție nesurjectivă poate fi transformată într-o surjecție prin restricționarea codominiului său la elementele din intervalul său. De exemplu, noua funcție, f_N(x):ℝ → [0,+∞) unde f_N(x) = x² este o funcție surjectivă. (Aceasta nu este același lucru cu restricția unei funcții care restrânge domeniul!).

Exemplu: Funcția exponențială f(x) = 10^x nu este o surjecție. Intervalul lui este 10^x(0,+∞), adică ansamblul numerelor pozitive. (Această funcție este o injecție.)

Alte exemple cu funcții cu valori reale

Exemplu: Funcția logaritmică baza 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definită prin f(x)=log(x) sau y=log₁₀(x) este o surjecție (și o injecție). (Aceasta este funcția inversă a lui 10^x).

• Proiecția unui produs cartezian A × B asupra unuia dintre factorii săi este o surjecție.

Exemplu: Funcția f((x,y)):ℝ²→ℝ definită prin z=y este o surjecție. Graficul său este un plan în spațiul tridimensional. Preimaginea lui z _oeste dreapta y=z_o în planul xy. 0

• În cazul jocurilor 3D, spațiul tridimensional este proiectat pe un ecran bidimensional cu ajutorul unei suprasoluții.

Pagini conexe

• Funcție (matematică)
• Funcție injectivă
• Funcție bijectivă