Funcție injectivă

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 20 aprilie 2022

În matematică, o funcție injectivă este o funcție f : A → B cu următoarea proprietate. Pentru fiecare element b din codominiul B există cel mult un element a în domeniul A astfel încât f(a)=b.

Termenul de injecție și termenii înrudiți surjecție și bijecție au fost introduși de Nicholas Bourbaki. În anii 1930, acesta și un grup de alți matematicieni au publicat o serie de cărți de matematică modernă avansată.

O funcție injectivă este adesea numită funcție 1-1. Cu toate acestea, o corespondență 1-1 este o funcție bijectivă (atât injectivă, cât și surjectivă). Acest lucru este derutant, așa că aveți grijă.

Proprietăți de bază

Formal:

f : A → B {\displaystyle f:A\dreptarrow B} $f:A\rightarrow B$ este o funcție injectivă dacă ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ sau în mod echivalent

f : A → B {\displaystyle f:A\dreptarrow B} $f:A\rightarrow B$ este o funcție injectivă dacă ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\în A,\,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightrightrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}}. $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

Elementul a {\displaystyle a} se numește preimagine a elementului b {\displaystyle b} $b$ dacă f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} $f(a)=b$ . Injecțiile au una sau niciuna dintre preimagini pentru fiecare element b din B.

Cardinalitate

Cardinalitatea este numărul de elemente dintr-un set. Cardinalitatea lui A={X,Y,Z,W} este 4. Scriem #A=4.

În cazul în care cardinalitatea codominiului este mai mică decât cardinalitatea domeniului, funcția nu poate fi o injecție. (De exemplu, nu există nici o modalitate de a pune în corespondență 6 elemente cu 5 elemente fără o duplicare).

Exemple

Funcții elementare

Fie f(x):ℝ→ℝ o funcție cu valori reale y=f(x) a unui argument x cu valori reale. (Aceasta înseamnă că atât intrarea cât și ieșirea sunt numere reale.)

Semnificație grafică: Funcția f este o injecție dacă fiecare linie orizontală intersectează graficul lui f în cel mult un punct.
Semnificație algebrică: Funcția f este o injecție dacă f(x_o )=f(x₁ ) înseamnă x_o =x₁ .

Exemplu: Funcția liniară a unei linii înclinate este 1-1. Adică, y=ax+b unde a≠0 este o injecție. (Este, de asemenea, o surjecție și, prin urmare, o bijecție).

Dovada: Fie x_o și x₁ numere reale. Să presupunem că dreapta trasează aceste două valori x la aceeași valoare y. Aceasta înseamnă că a-x_o +b=a-x₁ +b. Scădeți b din ambele părți. Obținem a-x_o =a-x₁ . Acum împărțim ambele părți cu a (țineți minte a≠0). Obținem x_o =x₁ . Deci am demonstrat definiția formală și funcția y=ax+b unde a≠0 este o injecție.

Exemplu: Funcția polinomială de gradul trei: f(x)=x³ este o injecție. Cu toate acestea, funcția polinomială de gradul trei: f(x)=x³ -3x nu este o injecție.

Discuție 1: Orice linie orizontală intersectează graficul lui

f(x)=x³ exact o singură dată. (De asemenea, este o surjecție.)

Discuție 2. Orice dreaptă orizontală cuprinsă între y=-2 și y=2 intersectează graficul în trei puncte, deci această funcție nu este o injecție. (Totuși, este o surjecție).

Exemplu: Funcția pătratică f(x) = x² nu este o injecție.

Discuții: Orice dreaptă orizontală y=c unde c>0 intersectează graficul în două puncte. Deci această funcție nu este o injecție. (De asemenea, nu este o surjecție.)

Notă: Se poate transforma o funcție neinjectivă într-o funcție injectivă prin eliminarea unei părți a domeniului. Acest lucru se numește restricționarea domeniului. De exemplu, restricționăm domeniul lui f(x)=x² la numere non-negative (numere pozitive și zero). Definiți

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ unde f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Această funcție este acum o injecție. (A se vedea, de asemenea, restricția unei funcții.)

Exemplu: Funcția exponențială f(x) = 10^x este o injecție. (Cu toate acestea, nu este o surjecție.)

Discuții: Orice dreaptă orizontală intersectează graficul în cel mult un punct. Dreapta orizontală y=c unde c>0 îl taie în exact un punct. Dreptele orizontale y=c unde c≤0 nu taie graficul în niciun punct.

Notă: Faptul că o funcție exponențială este injectivă poate fi utilizat în calcule.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Sfârșită dreapta \,\,\,x_{0}=x_{1},\,\,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Exemplu: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x=5}} $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injecție: nicio linie orizontală nu intersectează mai mult de un punct al graficului

Injecție. f(x):ℝ→ℝ (și surjecție)

Nu este o injecție. f(x):ℝ→ℝ (este o surjecție)

Nu este o injecție. f(x):ℝ→ℝ (nu este o surjecție)

Injecție. f(x):ℝ→ℝ (nu surjecție)

Injecție. f(x):(0,+∞)→ℝ (și surjecție)

Alte exemple

Exemplu: Funcția logaritmică baza 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definită prin f(x)=log(x) sau y=log₁₀ (x) este o injecție (și o surjecție). (Aceasta este funcția inversă a lui 10^x .)

Exemplu: Funcția f:ℕ→ℕ care face corespondența între fiecare număr natural n și 2n este o injecție. Orice număr par are exact o preimagine. Orice număr impar nu are nicio preimagine.

Pagini conexe

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este o funcție injectivă în matematică?

R: O funcție injectivă este o funcție f: A → B cu proprietatea că elementele distincte din domeniu se mapează în elemente distincte din codominiu.

Î: Care este relația dintre elementele din domeniul și codominiul unei funcții injective?

R: Pentru fiecare element b din codominiul B, există cel mult un element a în domeniul A astfel încât f(a)=b.

Î: Cine a introdus termenii de injecție, surjecție și bijecție?

R: Nicholas Bourbaki și un grup de alți matematicieni au introdus termenii de injecție, surjecție și bijecție.

Î: Ce înseamnă o funcție injectivă?

R: O funcție injectivă înseamnă că fiecare element din domeniul A se asociază cu un singur element din codominiul B.

Î: Prin ce se deosebește o funcție injectivă de o corespondență 1-1?

R: O funcție injectivă este adesea numită funcție 1-1 (unu la unu), dar se distinge de o corespondență 1-1, care este o funcție bijectivă (atât injectivă, cât și surjectivă).

Î: Care este proprietatea unei funcții injective?

R: Proprietatea unei funcții injective este aceea că elementele distincte din domeniu corespund elementelor distincte din codominiu.

Î: Care este semnificația funcțiilor injective în matematică?

R: Funcțiile injective joacă un rol important în multe domenii matematice, inclusiv în topologie, analiză și algebră, datorită proprietății lor de a avea elemente distincte în domeniu care se corelează cu elemente distincte în co-domeniu.