Varietate algebrică
În matematică, varietățile algebrice (numite și varietăți) reprezintă unul dintre obiectele centrale de studiu în geometria algebrică. Primele definiții ale varietății algebrice au definit-o ca fiind setul de soluții ale unui sistem de ecuații polinomiale, pe numere reale sau complexe. Definițiile moderne ale unei varietăți algebrice generalizează această noțiune, încercând în același timp să păstreze intuiția geometrică din spatele definiției originale.
Convențiile privind definiția unei varietăți algebrice diferă: Unii autori cer ca o "varietate algebrică" să fie, prin definiție, ireductibilă (ceea ce înseamnă că nu este uniunea a două seturi mai mici care sunt închise în topologia Zariski), în timp ce alții nu cer acest lucru. Atunci când se folosește prima convenție, varietățile algebrice neirreductibile sunt numite seturi algebrice.
Noțiunea de varietate este similară cu cea de multiplu. O diferență între o varietate și un manifold este că o varietate poate avea puncte singulare, în timp ce un manifold nu. Apărută în jurul anului 1800, teorema fundamentală a algebrei stabilește o legătură între algebră și geometrie, arătând că un polinom monic într-o variabilă cu coeficienți complecși (un obiect algebric) este determinat de ansamblul rădăcinilor sale (un obiect geometric). Generalizând acest rezultat, Nullstellensatz al lui Hilbert oferă o corespondență fundamentală între idealurile inelelor polinomiale și ansamblurile algebrice. Utilizând Nullstellensatz și rezultate conexe, matematicienii au stabilit o corespondență puternică între întrebările referitoare la seturile algebrice și cele din teoria inelelor. Această corespondență reprezintă specificitatea geometriei algebrice printre celelalte subdomenii ale geometriei.
Cubica răsucită este o varietate algebrică proiectivă.
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce sunt varietățile algebrice?
R: Varietățile algebrice sunt unul dintre obiectele centrale de studiu în geometria algebrică. Ele sunt definite ca fiind ansamblul soluțiilor unui sistem de ecuații polinomiale, pe numere reale sau complexe.
Î: Prin ce diferă definițiile moderne de definiția originală?
R: Definițiile moderne încearcă să păstreze intuiția geometrică din spatele definiției originale, generalizând-o în același timp. Unii autori cer ca o "varietate algebrică" să fie, prin definiție, ireductibilă (ceea ce înseamnă că nu este uniunea a două seturi mai mici care sunt închise în topologia Zariski), în timp ce alții nu o cer.
Î: Care este o diferență între o varietate și o mulțime?
R: O varietate poate avea puncte singulare, în timp ce o varietate nu.
Î: Ce stabilește teorema fundamentală a algebrei?
R: Teorema fundamentală a algebrei stabilește o legătură între algebră și geometrie, arătând că un polinom monic într-o variabilă cu coeficienți complecși (un obiect algebric) este determinat de ansamblul rădăcinilor sale (un obiect geometric).
Î: Ce oferă Nullstellensatz al lui Hilbert?
R: Nullstellensatz al lui Hilbert oferă o corespondență fundamentală între idealurile inelelor polinomiale și ansamblurile algebrice.
Î: Cum a fost utilizată această corespondență de către matematicieni?
R: Cu ajutorul acestei corespondențe, matematicienii au stabilit o corespondență puternică între întrebările referitoare la seturile algebrice și întrebările din teoria inelelor.
Î: Ce face ca acest domeniu special să fie unic printre alte subdomenii din cadrul geometriei? R: Această corespondență puternică între întrebările referitoare la seturile algebrice și cele referitoare la teoria inelelor face ca acest domeniu să fie unic printre alte subdomenii din cadrul geometriei.
