În matematică, varietățile algebrice (numite și varietăți) reprezintă unul dintre obiectele centrale de studiu în geometria algebrică. Primele definiții ale varietății algebrice au definit-o ca fiind setul de soluții ale unui sistem de ecuații polinomiale, pe numere reale sau complexe. Definițiile moderne ale unei varietăți algebrice generalizează această noțiune, încercând în același timp să păstreze intuiția geometrică din spatele definiției originale.
Convențiile privind definiția unei varietăți algebrice diferă: Unii autori cer ca o "varietate algebrică" să fie, prin definiție, ireductibilă (ceea ce înseamnă că nu este uniunea a două seturi mai mici care sunt închise în topologia Zariski), în timp ce alții nu cer acest lucru. Atunci când se folosește prima convenție, varietățile algebrice neirreductibile sunt numite seturi algebrice.
Noțiunea de varietate este similară cu cea de multiplu. O diferență între o varietate și un manifold este că o varietate poate avea puncte singulare, în timp ce un manifold nu. Apărută în jurul anului 1800, teorema fundamentală a algebrei stabilește o legătură între algebră și geometrie, arătând că un polinom monic într-o variabilă cu coeficienți complecși (un obiect algebric) este determinat de ansamblul rădăcinilor sale (un obiect geometric). Generalizând acest rezultat, Nullstellensatz al lui Hilbert oferă o corespondență fundamentală între idealurile inelelor polinomiale și ansamblurile algebrice. Utilizând Nullstellensatz și rezultate conexe, matematicienii au stabilit o corespondență puternică între întrebările referitoare la seturile algebrice și cele din teoria inelelor. Această corespondență reprezintă specificitatea geometriei algebrice printre celelalte subdomenii ale geometriei.
