Geometrie algebrică
Geometria algebrică este o ramură a matematicii care studiază ecuațiile polinomiale. Geometria algebrică modernă se bazează pe tehnici mai abstracte ale algebrei abstracte, în special ale algebrei comutative, cu limbajul și problemele geometriei.
Principalele obiecte de studiu în geometria algebrică sunt varietățile algebrice, care sunt manifestări geometrice ale seturilor de soluții ale sistemelor de ecuații polinomiale. Exemple dintre cele mai studiate clase de varietăți algebrice sunt: curbele algebrice plane, care includ drepte, cercuri, parabole, elipse, hiperbole, curbe cubice precum curbele eliptice și curbe quartice precum lemniscatele, și ovale Cassini. Un punct din plan aparține unei curbe algebrice dacă coordonatele sale satisfac o anumită ecuație polinomială. Întrebările de bază implică studiul punctelor de interes special, cum ar fi punctele singulare, punctele de inflexiune și punctele la infinit. Întrebările mai avansate implică topologia curbei și relațiile dintre curbele date de ecuații diferite.
Geometria algebrică ocupă un loc central în matematica modernă. Conceptele pe care le utilizează o leagă de domenii atât de diverse precum analiza complexă, topologia și teoria numerelor. La început, geometria algebrică se referea la studiul sistemelor de ecuații polinomiale în mai multe variabile. Geometria algebrică începe în punctul în care se termină rezolvarea ecuațiilor: În multe cazuri, găsirea proprietăților pe care le au toate soluțiile unui anumit set de ecuații este mai importantă decât găsirea unei anumite soluții: acest lucru conduce la unele dintre cele mai profunde domenii din întreaga matematică, atât din punct de vedere conceptual, cât și tehnic.
În secolul XX, geometria algebrică s-a divizat în mai multe subdomenii.
- Principalul curent al geometriei algebrice este dedicat studiului punctelor complexe ale varietăților algebrice și, mai general, punctelor cu coordonate într-un câmp algebric închis.
- Studiul punctelor unei varietăți algebrice cu coordonate în câmpul numerelor raționale sau într-un câmp de numere a devenit geometrie aritmetică (sau, mai clasic, geometrie diofantină), un subdomeniu al teoriei algebrice a numerelor.
- Studiul punctelor reale ale unei varietăți algebrice este subiectul geometriei algebrice reale.
- O mare parte a teoriei singularităților este dedicată singularităților varietăților algebrice.
- Când calculatoarele au devenit mai frecvente, s-a dezvoltat un domeniu numit "geomerie algebrică computațională". Acesta analizează intersecția dintre geometria algebrică și algebra computațională. Acesta se ocupă de dezvoltarea de algoritmi și programe informatice pentru studierea și găsirea proprietăților varietăților algebrice date în mod explicit.
O mare parte din dezvoltarea curentului principal al geometriei algebrice din secolul al XX-lea a avut loc într-un cadru algebric abstract, punându-se un accent din ce în ce mai mare pe proprietățile "intrinseci" ale varietăților algebrice care nu depind de un anumit mod de încorporare a varietății într-un spațiu de coordonate ambiant. Evoluțiile în topologie, geometrie diferențială și complexă au avut loc în mare parte în același mod. O realizare cheie a acestei geometrii algebrice abstracte este teoria schemelor lui Grothendieck, care permite utilizarea teoriei sheaf-urilor pentru a studia varietățile algebrice într-un mod foarte asemănător cu utilizarea acesteia în studiul mulțimilor diferențiale și analitice. Acest lucru se obține prin extinderea noțiunii de punct: în geometria algebrică clasică, un punct al unei varietăți afine poate fi identificat, prin Nullstellensatz al lui Hilbert, cu un ideal maxim al inelului de coordonate, în timp ce punctele schemei afine corespunzătoare sunt toate idealurile prime ale acestui inel. Aceasta înseamnă că un punct al unei astfel de scheme poate fi fie un punct obișnuit, fie o subvariantă. Această abordare permite, de asemenea, o unificare a limbajului și a instrumentelor geometriei algebrice clasice, care se ocupă în principal de punctele complexe, și ale teoriei algebrice a numerelor. Dovada lui Wiles a conjecturii de lungă durată numită ultima teoremă a lui Fermat este un exemplu al puterii acestei abordări.
Această suprafață Togliatti este o suprafață algebrică de gradul cinci. Imaginea reprezintă o porțiune din locul său real
Întrebări și răspunsuri
Î: Ce este geometria algebrică?
R: Geometria algebrică este o ramură a matematicii care studiază ecuațiile polinomiale.
Î: Ce tehnici sunt utilizate în geometria algebrică modernă?
R: Geometria algebrică modernă utilizează tehnici mai abstracte din algebra abstractă, cum ar fi algebra comutativă, pentru a aborda limbajul și problemele geometriei.
Î: Ce tip de ecuații studiază geometria algebrică?
R: Geometria algebrică studiază ecuațiile polinomiale.
Î: Cum utilizează algebra abstractă?
R: Folosește algebra abstractă, în special algebra comutativă, pentru a înțelege limbajul și problemele asociate cu geometria.
Î: Există un tip specific de limbaj utilizat în acest domeniu?
R: Da, geometria algebrică modernă utilizează limbajul și problemele asociate cu geometria.
Î: Cum a influențat tehnologia modernă acest domeniu?
R: Tehnologia modernă a permis utilizarea unor tehnici mai avansate din algebra abstractă în studiul ecuațiilor polinomiale în acest domeniu.
