Geometrie hiperbolică | o geometrie non-euclidiană

Definiție formală

Postulatul paralelelor în geometria euclidiană spune că în spațiul bidimensional, pentru orice dreaptă l și orice punct P care nu se află pe l, există exact o dreaptă care trece prin P și nu o intersectează pe l. Această dreaptă se numește paralelă cu l. În geometria hiperbolică există cel puțin două astfel de drepte care trec prin P. Deoarece ele nu o intersectează pe l, postulatul paralelelor este fals. În cadrul geometriei euclidiene au fost construite modele care respectă axiomele geometriei hiperbolice. Aceste modele dovedesc că postulatul paralelismului este independent de celelalte postulate ale lui Euclid.

Deoarece nu există un analog hiperbolic al liniilor paralele euclidiene, utilizarea hiperbolică a termenilor paralele și a termenilor înrudiți variază de la un autor la altul. În acest articol, cele două linii limitatoare se numesc asimptotice, iar liniile care au o perpendiculară comună se numesc ultraparalele; simplul cuvânt paralel se poate aplica la ambele.

 
Linii care trec printr-un punct P dat și care sunt asimptotice la dreapta l.  

Linii care nu se intersectează

O proprietate interesantă a geometriei hiperbolice rezultă din apariția mai multor drepte paralele printr-un punct P: există două clase de drepte care nu se intersectează. Fie B punctul de pe l astfel încât dreapta PB este perpendiculară pe l. Să se considere dreapta x prin P astfel încât x să nu intersecteze l, iar unghiul θ dintre PB și x în sens invers acelor de ceasornic față de PB să fie cât mai mic posibil; adică, orice unghi mai mic va forța dreapta să intersecteze l. Aceasta se numește dreaptă asimptotică în geometria hiperbolică. În mod simetric, linia y care formează același unghi θ între PB și ea însăși, dar în sensul acelor de ceasornic față de PB, va fi, de asemenea, asimptotică. x și y sunt singurele două linii asimptotice cu l prin P. Toate celelalte linii prin P care nu intersectează l, cu unghiuri mai mari decât θ cu PB, se numesc ultraparalele (sau disjuncte paralele) cu l. Observați că, întrucât există un număr infinit de unghiuri posibile între θ și 90 de grade, iar fiecare dintre ele va determina două drepte care trec prin P și sunt disjuncte paralele cu l, există un număr infinit de drepte ultraparalele.

Astfel, avem această formă modificată a postulatului paralel: În geometria hiperbolică, având în vedere orice dreaptă l și un punct P care nu se află pe l, există exact două drepte prin P care sunt asimptotice cu l și un număr infinit de drepte prin P ultraparalele cu l.

Diferențele dintre aceste tipuri de linii pot fi, de asemenea, analizate în felul următor: distanța dintre liniile asimptotice se reduce la zero într-o direcție și crește fără limite în cealaltă; distanța dintre liniile ultraparalele crește în ambele direcții. Teorema ultraparalelă afirmă că există o singură dreaptă în planul hiperbolic care este perpendiculară pe fiecare dintre o pereche dată de drepte ultraparalele.

În geometria euclidiană, unghiul de paralelism este o constantă; adică, orice distanță ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } între linii paralele produce un unghi de paralelism egal cu 90°. În geometria hiperbolică, unghiul de paralelism variază cu funcția Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} . Această funcție, descrisă de Nikolai Ivanovici Lobachevsky, produce un unghi de paralelism unic pentru fiecare distanță p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Pe măsură ce distanța devine mai scurtă, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se apropie de 90°, în timp ce cu creșterea distanței Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se apropie de 0°. Astfel, pe măsură ce distanțele devin mai mici, planul hiperbolic se comportă din ce în ce mai mult ca geometria euclidiană. Într-adevăr, la scări mici, în comparație cu 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} unde K {\displaystyle K\!} este curbura gaussiană (constantă) a planului, un observator ar avea dificultăți în a determina dacă se află în planul euclidian sau în cel hiperbolic.

 

Istoric

Timp de secole, geometrii au încercat să demonstreze postulatul paralelismului. Nu au reușit, dar eforturile lor au dat naștere geometriei hiperbolice. Teoremele lui Alhacen, Khayyam privind cuadrilateralele, au fost primele teoreme privind geometria hiperbolică. Lucrările lor privind geometria hiperbolică au avut o influență asupra dezvoltării acesteia în rândul geometrilor europeni de mai târziu, printre care Witelo, Alfonso și John Wallis.

În secolul al XIX-lea, geometria hiperbolică a fost explorată de János Bolyai și Nikolai Ivanovici Lobachevsky, după care este uneori numită. Lobachevsky a publicat în 1830, în timp ce Bolyai a descoperit-o independent și a publicat-o în 1832. Karl Friedrich Gauss a studiat, de asemenea, geometria hiperbolică, descriind într-o scrisoare din 1824 către Taurinus că a construit-o, dar nu și-a publicat lucrarea. În 1868, Eugenio Beltrami a furnizat modele ale acesteia și a folosit acest lucru pentru a dovedi că geometria hiperbolică este coerentă dacă geometria euclidiană este.

Termenul de "geometrie hiperbolică" a fost introdus de Felix Klein în 1871. Pentru mai mult istoric, vezi articolul despre geometria neeuclidiană.

 

Modele ale planului hiperbolic

Există trei modele utilizate în mod obișnuit pentru geometria hiperbolică: modelul Klein, modelul discului Poincaré și modelul Lorentz sau modelul hiperboloidului. Aceste modele definesc un spațiu hiperbolic real care satisface axiomele unei geometrii hiperbolice. În pofida denumirii, cele două modele de disc și modelul semipreliniu au fost introduse ca modele ale spațiului hiperbolic de Beltrami, nu de Poincaré sau Klein.

1. Modelul Klein, cunoscut și sub numele de modelul discului proiectiv și modelul Beltrami-Klein, utilizează interiorul unui cerc pentru planul hiperbolic, iar corzile cercului ca linii.
2. Modelul de jumătate de plan Poincaré consideră că o jumătate din planul euclidian, determinată de o dreaptă euclidiană B, este planul hiperbolic (B nu este inclus).
• Liniile hiperbolice sunt atunci fie semicercuri ortogonale la B, fie raze perpendiculare la B.
• Ambele modele Poincaré păstrează unghiurile hiperbolice și sunt astfel conforme. Prin urmare, toate izometriile din cadrul acestor modele sunt transformări Möbius.
• Modelul de semiplan este identic (la limită) cu modelul de disc Poincaré la marginea discului
• Acest model are o aplicație directă la relativitatea specială, deoarece spațiul Minkowski 3 este un model pentru spațiu-timp, suprimând o dimensiune spațială. Se poate considera că hiperboloidul reprezintă evenimentele la care vor ajunge diverși observatori în mișcare, care se deplasează pe un plan spațial dintr-un singur punct, într-un timp propriu fix. Distanța hiperbolică dintre două puncte de pe hiperboloid poate fi astfel identificată cu rapiditatea relativă dintre cei doi observatori corespunzători.

 
Modelul discului lui Poincaré al marelui rombitruncat {3,7} Tiling  

Vizualizarea geometriei hiperbolice

M. Celebrele gravuri ale lui C. Escher Circle Limit III Arhivat 2009-03-18 la Wayback Machine și Circle Limit IV Arhivat 2009-03-18 la Wayback Machine ilustrează destul de bine modelul discului conform. În ambele se pot vedea geodezicele. (În III, liniile albe nu sunt geodezice, ci hipercicluri, care le însoțesc). De asemenea, se poate vedea destul de clar curbura negativă a planului hiperbolic, prin efectul său asupra sumei unghiurilor din triunghiuri și pătrate.

În planul euclidian, unghiurile lor ar însuma 450°, adică un cerc și un sfert. De aici rezultă că suma unghiurilor unui triunghi în planul hiperbolic trebuie să fie mai mică de 180°. O altă proprietate vizibilă este creșterea exponențială. În Cercul limită IV, de exemplu, se poate vedea că numărul de îngeri și demoni Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine pe o distanță de n de la centru crește exponențial. Demonii au aria hiperbolică egală, astfel încât aria unei bile de rază n trebuie să crească exponențial în n.

Există mai multe moduri de a realiza fizic un plan hiperbolic (sau o aproximare a acestuia). Un model de hârtie deosebit de cunoscut, bazat pe pseudosferă, se datorează lui William Thurston. Arta croșetatului a fost folosită pentru a demonstra planurile hiperbolice, primul fiind realizat de Daina Taimina. În 2000, Keith Henderson a demonstrat un model de hârtie rapid de realizat, denumit "mingea de fotbal hiperbolică".

 
O colecție de planuri hiperbolice croșetate, imitând un recif de corali, realizată de Institute For Figuring  

Literatură

• Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto.
• Nikolai I. Lobașevski, Pangeometrie, traducător și editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, Societatea Europeană de Matematică, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Geometrie hiperbolică: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volumul 6, Numărul 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, volumul 10 în seria AMS/LMS History of Mathematics.
• Samuels, David. (Martie 2006) Knit Theory Discover Magazine, volumul 27, numărul 3.
• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9