O proprietate interesantă a geometriei hiperbolice rezultă din apariția mai multor drepte paralele printr-un punct P: există două clase de drepte care nu se intersectează. Fie B punctul de pe l astfel încât dreapta PB este perpendiculară pe l. Să se considere dreapta x prin P astfel încât x să nu intersecteze l, iar unghiul θ dintre PB și x în sens invers acelor de ceasornic față de PB să fie cât mai mic posibil; adică, orice unghi mai mic va forța dreapta să intersecteze l. Aceasta se numește dreaptă asimptotică în geometria hiperbolică. În mod simetric, linia y care formează același unghi θ între PB și ea însăși, dar în sensul acelor de ceasornic față de PB, va fi, de asemenea, asimptotică. x și y sunt singurele două linii asimptotice cu l prin P. Toate celelalte linii prin P care nu intersectează l, cu unghiuri mai mari decât θ cu PB, se numesc ultraparalele (sau disjuncte paralele) cu l. Observați că, întrucât există un număr infinit de unghiuri posibile între θ și 90 de grade, iar fiecare dintre ele va determina două drepte care trec prin P și sunt disjuncte paralele cu l, există un număr infinit de drepte ultraparalele.
Astfel, avem această formă modificată a postulatului paralel: În geometria hiperbolică, având în vedere orice dreaptă l și un punct P care nu se află pe l, există exact două drepte prin P care sunt asimptotice cu l și un număr infinit de drepte prin P ultraparalele cu l.
Diferențele dintre aceste tipuri de linii pot fi, de asemenea, analizate în felul următor: distanța dintre liniile asimptotice se reduce la zero într-o direcție și crește fără limite în cealaltă; distanța dintre liniile ultraparalele crește în ambele direcții. Teorema ultraparalelă afirmă că există o singură dreaptă în planul hiperbolic care este perpendiculară pe fiecare dintre o pereche dată de drepte ultraparalele.
În geometria euclidiană, unghiul de paralelism este o constantă; adică, orice distanță ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert }
între linii paralele produce un unghi de paralelism egal cu 90°. În geometria hiperbolică, unghiul de paralelism variază cu funcția Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}
. Această funcție, descrisă de Nikolai Ivanovici Lobachevsky, produce un unghi de paralelism unic pentru fiecare distanță p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } 
. Pe măsură ce distanța devine mai scurtă, Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se apropie de 90°, în timp ce cu creșterea distanței Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} se apropie de 0°. Astfel, pe măsură ce distanțele devin mai mici, planul hiperbolic se comportă din ce în ce mai mult ca geometria euclidiană. Într-adevăr, la scări mici, în comparație cu 1 - K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} 
unde K {\displaystyle K\!}
este curbura gaussiană (constantă) a planului, un observator ar avea dificultăți în a determina dacă se află în planul euclidian sau în cel hiperbolic.
