Analiză matematică | Se ocupă de funcții, secvențe și serii

Părți ale analizei matematice

Limite

Un concept fundamental în analiza matematică este conceptul de limită. Limitele sunt utilizate pentru a vedea ce se întâmplă foarte aproape de lucruri. Limitele pot fi, de asemenea, utilizate pentru a vedea ce se întâmplă atunci când lucrurile devin foarte mari. De exemplu, 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}} nu este niciodată zero, dar pe măsură ce n crește, 1 n {\displaystyle {\tfrac {\tfrac {1}{n}}} se apropie din ce în ce mai mult de zero. Limita lui 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} pe măsură ce n crește este zero. Acest lucru este descris prin "Limita lui 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} pe măsură ce n ajunge la infinit este zero", și scris ca lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}} .

Contrapartea ar fi 2 × n {\displaystyle {2}\ ori {n}}}. . Atunci când n {\displaystyle {n}} devine mai mare, limita ajunge la infinit. Aceasta se scrie ca lim n → ∞ 2 × n = ∞ ∞ {\displaystyle \lim _{n\la \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Teorema fundamentală a algebrei poate fi demonstrată pornind de la câteva rezultate de bază din analiza complexă. Ea spune că orice polinom f ( x ) {\displaystyle f(x)} cu coeficienți reali sau complecși are o rădăcină complexă (unde o rădăcină este un număr x care satisface ecuația f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0}. , iar unele dintre aceste rădăcini pot fi aceleași).

Calcul diferențial

Funcția f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} este o dreaptă. M {\displaystyle {m}}} arată panta funcției, iar c {\displaystyle {c}} arată poziția funcției pe ordonată. Cu două puncte de pe dreaptă, este posibil să se calculeze panta m {\displaystyle {m}} cu:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}}{x_{1}-x_{0}}}} .

O funcție de forma f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , care nu este liniară, nu poate fi calculată ca mai sus. Este posibilă doar calcularea pantei prin utilizarea tangentelor și secantelor. Secanta trece prin două puncte, iar atunci când cele două puncte se apropie, se transformă într-o tangentă.

Noua formulă este m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Aceasta se numește coeficient de diferență. x 1 {\displaystyle x_{1}} se apropie acum de x 0 {\displaystyle x_{0}}. . Acest lucru poate fi exprimat prin următoarea formulă:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Rezultatul se numește derivata sau panta lui f în punctul x {\displaystyle {x}}. .

Integrare

Integrarea se referă la calculul suprafețelor.

Simbolul ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

se citește "integrala lui f în raport cu x de la a la b" și se referă la aria dintre axa x, graficul funcției f și dreptele x=a și x=b. A {\displaystyle a} este punctul în care ar trebui să înceapă aria, iar b {\displaystyle b} este punctul în care ar trebui să se termine aria.

Pagini conexe

Teme de analiză

• Calculul
• Analiza complexă
• Analiza funcțională
• Analiza numerică

Concepte în analiză

• Seria
• Secvență
• Derivat
• Integral