Se consideră o suprafață S pe care este definit un câmp scalar f. Dacă ne gândim la S ca fiind făcută dintr-un anumit material și pentru fiecare x din S numărul f(x) este densitatea materialului la x, atunci integrala de suprafață a lui f pe S este masa pe unitatea de grosime a lui S. (Acest lucru este adevărat numai dacă suprafața este o cochilie infinitezimală.) O abordare pentru calcularea integralei suprafeței este de a împărți suprafața în mai multe bucăți foarte mici, de a presupune că pe fiecare bucată densitatea este aproximativ constantă, de a găsi masa pe unitatea de grosime a fiecărei bucăți prin înmulțirea densității bucății cu aria acesteia și de a aduna numerele rezultate pentru a găsi masa totală pe unitatea de grosime a lui S.
Pentru a găsi o formulă explicită pentru integrala de suprafață, matematicienii parametrează S prin considerarea pe S a unui sistem de coordonate curbilinii, cum ar fi latitudinea și longitudinea pe o sferă. Fie ca o astfel de parametrizare să fie x(s, t), unde (s, t) variază într-o anumită regiune T din plan. Atunci, integrala suprafeței este dată de
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \ peste \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \peste \ partiala t}\ dreapta|ds\,dt} 
unde expresia dintre barele din partea dreaptă este mărimea produsului încrucișat al derivatelor parțiale ale lui x(s, t).
De exemplu, pentru a afla suprafața unei forme funcționale generale, să z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, avem
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \ peste \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \ peste \partial y}\right\\|dx\,dy} 
unde r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Astfel încât ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} 
, și ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Deci,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \ peste \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \ peste \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\||left(-{\partial f \ peste \partial x},-{\partial f \ peste \partial y},1\right)\right\||dx\,dy\\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \ peste \partial x}\dreapta)^{2}+\left({\partial f \ peste \partial y}\dreapta)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}} 
care este formula utilizată pentru suprafața unei forme funcționale generale. Vectorul din a doua linie de mai sus poate fi recunoscut ca fiind vectorul normal la suprafață.
Rețineți că, din cauza prezenței produsului încrucișat, formulele de mai sus funcționează numai pentru suprafețe încorporate în spațiul tridimensional.
