Cilindru (geometrie) | una dintre cele mai simple forme geometrice curbe tridimensionale de bază

Utilizare comună

În uzul comun, prin cilindru se înțelege o secțiune finită a unui cilindru circular drept, adică un cilindru cu liniile generatoare perpendiculare pe baze, cu capetele închise pentru a forma două suprafețe circulare, ca în figura (dreapta). Dacă cilindrul are o rază r și o lungime (înălțime) h, atunci volumul său este dat de:

V = πr² h

iar suprafața sa este:

• suprafața părții superioare (πr² ) +
• suprafața fundului (πr² ) +
• suprafața laterală (2πrh).

Prin urmare, fără partea superioară sau inferioară (zona laterală), suprafața este:

A = 2πrh.

Cu partea de sus și de jos, suprafața este:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Pentru un volum dat, cilindrul cu cea mai mică suprafață are h = 2r. Pentru o suprafață dată, cilindrul cu cel mai mare volum are h = 2r, adică cilindrul încape într-un cub (înălțime = diametru).

 

Volum

Având un cilindru circular dreptunghic cu înălțimea h unități și baza de rază r unități, cu axele de coordonate alese astfel încât originea să se afle în centrul uneia dintre baze, iar înălțimea să fie măsurată de-a lungul axei x pozitive. O secțiune plană situată la o distanță de x unități față de origine are o suprafață de A(x) unități pătrate, unde

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

sau

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Un element de volum este un cilindru drept cu suprafața de bază Aw_i unități pătrate și o grosime de Δ_i x unități. Astfel, dacă V unități cubice este volumul cilindrului circular drept, prin sumele Riemann,

V o l u m e d e c y l i n d e r = lim | | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cilindru} =\lim _{|||\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Utilizând coordonate cilindrice, volumul poate fi calculat prin integrare pe

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

 

Secțiunea cilindrică

Secțiunile cilindrice sunt intersecțiile cilindrilor cu planele. Pentru un cilindru circular drept, există patru posibilități. Un plan tangent la cilindru se întâlnește cu cilindrul într-o singură linie dreaptă. Deplasat în timp ce este paralel cu el însuși, planul fie nu intersectează cilindrul, fie îl intersectează în două linii paralele. Toate celelalte planuri intersectează cilindrul într-o elipsă sau, atunci când sunt perpendiculare pe axa cilindrului, într-un cerc.

 

Alte tipuri de butelii

Un cilindru eliptic, sau cilindroid, este o suprafață cuadrică, cu următoarea ecuație în coordonate carteziene:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Această ecuație este pentru un cilindru eliptic, o generalizare a cilindrului circular obișnuit (a = b). Chiar mai general este cilindrul generalizat: secțiunea transversală poate fi orice curbă.

Cilindrul este o cuadrică degenerată, deoarece cel puțin una dintre coordonate (în acest caz z) nu apare în ecuație.

Un cilindru oblic are suprafețele superioară și inferioară deplasate una față de cealaltă.

Există și alte tipuri de cilindri mai neobișnuite. Aceștia sunt cilindrii eliptici imaginari:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

cilindrul hiperbolic:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}}

și cilindrul parabolic:

x 2 + 2 a y = 0. {displaystyle x^{2}+2ay=0.\\,}

 

 
Un cilindru eliptic  


În geometria proiectivă, un cilindru este pur și simplu un con al cărui vârf se află la infinit, ceea ce corespunde vizual unui cilindru în perspectivă care pare a fi un con spre cer.