Ecuația lui Schrödinger

Autor: Leandro Alegsa Data creării: 17 mai 2021

Ecuația lui Schrödinger este o ecuație diferențială (un tip de ecuație care implică o funcție necunoscută, mai degrabă decât un număr necunoscut) care stă la baza mecanicii cuantice, una dintre cele mai exacte teorii privind modul în care se comportă particulele subatomice. Este o ecuație matematică la care s-a gândit Erwin Schrödinger în 1925. Ea definește o funcție de undă a unei particule sau a unui sistem (grup de particule) care are o anumită valoare în fiecare punct din spațiu pentru fiecare moment dat. Aceste valori nu au nicio semnificație fizică (de fapt, ele sunt complexe din punct de vedere matematic), însă funcția de undă conține toate informațiile care pot fi cunoscute despre o particulă sau un sistem. Aceste informații pot fi găsite prin manipularea matematică a funcției de undă pentru a returna valori reale legate de proprietăți fizice precum poziția, impulsul, energia etc. Funcția de undă poate fi privită ca o imagine a modului în care această particulă sau sistem acționează în timp și o descrie cât se poate de complet.

Funcția de undă se poate afla în mai multe stări diferite în același timp și, astfel, o particulă poate avea mai multe poziții, energii, viteze sau alte proprietăți fizice diferite în același timp (adică "poate fi în două locuri în același timp"). Cu toate acestea, atunci când una dintre aceste proprietăți este măsurată, ea are o singură valoare specifică (care nu poate fi prezisă cu certitudine) și, prin urmare, funcția de undă se află într-o singură stare specifică. Acest lucru se numește colapsul funcției de undă și pare să fie cauzat de actul de observare sau de măsurare. Cauza și interpretarea exactă a colapsului funcției de undă este încă dezbătută pe larg în comunitatea științifică.

Pentru o particulă care se mișcă într-o singură direcție în spațiu, ecuația lui Schrödinger arată astfel:

- ℏ 2 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

unde i {\displaystyle i} $i$ este rădăcina pătrată a lui -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ este constanta redusă a lui Planck, t {\displaystyle t} $t$ este timpul, x {\displaystyle x} este o poziție, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ este funcția de undă, iar V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ este energia potențială, o funcție încă nedefinită a poziției. Partea stângă este echivalentă cu operatorul de energie hamiltoniană care acționează asupra lui Ψ {\displaystyle \Psi}. $\Psi$ .

Bustul lui Erwin Schrödinger, la Universitatea din Viena. De asemenea, prezintă o ecuație Schrödinger.

Versiune independentă de timp

Presupunând că funcția de undă, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , este separabilă, adică presupunând că funcția a două variabile poate fi scrisă ca produs a două funcții diferite ale unei singure variabile:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

atunci, folosind tehnicile matematice standard ale ecuațiilor diferențiale parțiale, se poate demonstra că ecuația undei poate fi rescrisă ca două ecuații diferențiale distincte

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

unde prima ecuație depinde exclusiv de timpul T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , iar a doua ecuație depinde numai de poziție ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ și unde E {\displaystyle E} $E$ este doar un număr. Prima ecuație poate fi rezolvată imediat pentru a obține

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

unde e {\displaystyle e} $e$ este numărul lui Euler. Soluțiile celei de-a doua ecuații depind de funcția de energie potențială, V ( x ) {\displaystyle V(x)}. $V(x)$ și, prin urmare, nu pot fi rezolvate până când nu este dată această funcție. Cu ajutorul mecanicii cuantice se poate demonstra că numărul E {\displaystyle E} $E$ este de fapt energia sistemului, astfel încât aceste funcții de undă separabile descriu sisteme cu energie constantă. Deoarece energia este constantă în multe sisteme fizice importante (de exemplu: un electron într-un atom), se utilizează adesea a doua ecuație din setul de ecuații diferențiale separate prezentate mai sus. Această ecuație este cunoscută sub numele de ecuația Schrödinger independentă de timp, deoarece nu implică t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretări ale funcției de undă

Născută Interpretare

Există multe interpretări filozofice ale funcției de undă, iar câteva dintre ideile principale vor fi luate în considerare aici. Ideea principală, numită interpretarea probabilității Born (numită după fizicianul Max Born), provine din ideea simplă că funcția de undă este integrabilă la pătrat; adică

∫ - ∞ ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Această formulă destul de simplă are mari implicații fizice. Born a emis ipoteza că integrala de mai sus determină faptul că particula există undeva în spațiu. Dar cum o putem găsi? Folosim integrala

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

unde P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} este $P(b<x<a)$ probabilitatea de a găsi particula în regiunea cuprinsă între b {\displaystyle b} și a {\displaystyle $b$ a} . Cu alte cuvinte, tot ceea ce se poate cunoaște în avans despre o particulă în general sunt probabilitățile, mediile și alte cantități statistice asociate cu mărimile sale fizice (poziție, impuls etc.). Practic, aceasta este interpretarea Born.

Interpretarea de la Copenhaga

Se poate face o extindere a ideilor de mai sus. Deoarece interpretarea Born spune că poziția reală a particulei nu poate fi cunoscută, putem deduce următoarele. Dacă Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ sunt soluții ale ecuației de undă, atunci superpoziția acestor soluții, adică

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

este, de asemenea, o soluție. Acest lucru implică, deci, că particula există în orice poziție posibilă. Atunci când un observator vine și măsoară poziția particulei, atunci superpoziția se reduce la o singură funcție de undă posibilă. (adică, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}}. $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ unde Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}}} $\Psi _{n}$ este oricare dintre stările posibile ale funcției de undă). Această idee că poziția unei particule nu poate fi cunoscută cu exactitate și că o particulă există în mai multe poziții simultan dă naștere principiului incertitudinii. Formularea matematică a acestui principiu poate fi dată de următoarea formulare

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Unde Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ este incertitudinea în poziție, iar Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ este incertitudinea în impuls. Acest principiu poate fi derivat matematic din transformările Fourier între momentul și poziția definite de mecanica cuantică, dar nu îl vom deriva în acest articol.

Alte interpretări

Există diverse alte interpretări, cum ar fi interpretarea cu multe lumi și determinismul cuantic.

Întrebări și răspunsuri

Î: Ce este ecuația lui Schrödinger?

R: Ecuația Schrödinger este o ecuație diferențială care stă la baza mecanicii cuantice și a fost gândită de Erwin Schrödinger în 1925. Ea definește o funcție de undă a unei particule sau a unui sistem care are o anumită valoare în fiecare punct din spațiu pentru fiecare moment dat.

Î: Ce informații se pot afla din manipularea funcției de undă?

R: Prin manipularea matematică a funcției de undă se pot găsi valori reale legate de proprietăți fizice, cum ar fi poziția, impulsul, energia etc.

Î: Ce înseamnă că o particulă poate avea mai multe poziții, energii, viteze sau alte proprietăți fizice diferite în același timp?

R: Aceasta înseamnă că funcția de undă poate fi în mai multe stări diferite în același timp și, prin urmare, o particulă poate avea mai multe poziții, energii, viteze sau alte proprietăți fizice diferite în același timp (adică "poate fi în două locuri în același timp").

Î: Ce este colapsul funcției de undă?

R: Colapsul funcției de undă este atunci când una dintre aceste proprietăți este măsurată, aceasta are o singură valoare specifică (care nu poate fi prezisă cu siguranță) și, prin urmare, funcția de undă se află într-o singură stare specifică. Acest lucru pare să fie cauzat de actul de observare sau de măsurare.

Î: Care sunt unele componente ale ecuației lui Schrödinger?

R: Componentele ecuației Schrödinger includ i, care este egal cu rădăcina pătrată -1; ℏ, care reprezintă constanta redusă a lui Planck; t, care reprezintă timpul; x, care reprezintă poziția; Ψ (x , t), care reprezintă funcțiile de undă; și V(x), care reprezintă energia potențială ca o funcție încă nealeasă a poziției.

Î: Cum interpretăm colapsul funcției de undă?

R: Cauza exactă și interpretarea colapsului funcției de undă sunt încă larg dezbătute în comunitatea științifică.